Question Number 140200 by qaz last updated on 05/May/21
$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\frac{{lnx}}{{x}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{3}} {dx}=\pi^{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by Ar Brandon last updated on 05/May/21
$$\Phi=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{lnx}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{3}} \mathrm{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{lnx}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{3}} \mathrm{dx}+\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{lnx}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{3}} \mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\mathrm{dx}+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{xln}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}+\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:=\left[−\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\mathrm{3}\int\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} +\mathrm{2}\left[−\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:=\left[−\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\mathrm{3}\left[\int\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}−\int\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\mathrm{dx}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\mathrm{3}\left[\int\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx}−\int\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:=−\mathrm{ln}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}+\mathrm{3}\psi''\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{3}\left[\int\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}−\int\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\mathrm{dx}\right]−\mathrm{3}\left[−\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\mathrm{2}\int\frac{\mathrm{lnx}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx}\right] \\ $$$$\:\:\:\:=−\mathrm{ln}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}+\mathrm{3}\psi''\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{ln}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}−\mathrm{3}\psi''\left(\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{3ln}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\mathrm{6}\left[\int\frac{\mathrm{lnx}}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}+\int\frac{\mathrm{lnx}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\mathrm{dx}\right] \\ $$$$\:\:\:\:=\frac{\mathrm{3ln}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\mathrm{3ln}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{6}\psi'\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{6}\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\mathrm{6}\zeta\left(\mathrm{2}\right)=\pi^{\mathrm{2}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 05/May/21
$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{log}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{3}} }\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{I}\:=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{log}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{3}} }\mathrm{dx}−\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{log}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{3}} }\mathrm{dx}\left(\rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\right) \\ $$$$=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{log}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{3}} }+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{−\mathrm{log}^{\mathrm{3}} \mathrm{t}}{\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\right)^{\mathrm{3}} }\left(−\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{log}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{3}} }\mathrm{dx}−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{tlog}^{\mathrm{3}} \mathrm{t}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{3}} }\:\mathrm{dt} \\ $$$$=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\mathrm{log}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{3}} }\mathrm{dx}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{nx}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{4}} }\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:\Rightarrow\frac{\mathrm{2}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\mathrm{log}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}\:\mathrm{dx} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right)\mathrm{log}^{\mathrm{3}} \mathrm{xdx} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\:\mathrm{X}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{X}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right)\mathrm{log}^{\mathrm{3}} \mathrm{xdx} \\ $$$$\left.=\left[\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\right)\mathrm{log}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\right)\mathrm{3log}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}} \\ $$$$=−\mathrm{3}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} }{\mathrm{n}−\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\right)\mathrm{log}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\mathrm{dx} \\ $$$$=−\mathrm{3}\left\{\:\:\left[\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{log}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\right)\frac{\mathrm{2logx}}{\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{6}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{log}\:\mathrm{xdx} \\ $$$$=\mathrm{6}\left\{\left[\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} }\right)\mathrm{logx}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} }\right)\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}}\right. \\ $$$$=−\mathrm{6}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} }\right)\mathrm{dx}\:=−\mathrm{6}\left[\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{4}} }\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$=−\mathrm{6}\left(\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{4}} }\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\mathrm{3}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{4}} }\right) \\ $$$$=\mathrm{3}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{n}}{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:+\mathrm{3}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\mathrm{3}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} }\:+\mathrm{3}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\mathrm{6}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\:=\mathrm{6}.\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}=\pi^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\frac{\mathrm{logx}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{3}} \:=\pi^{\mathrm{2}} \\ $$