Question Number 140601 by mathdanisur last updated on 10/May/21
$$\underset{\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\int}}\frac{{log}\left(\mathrm{1}+{z}^{\mathrm{4}} \right)}{\:\sqrt{{z}}\left(\mathrm{1}+{z}\right)}{dz} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 10/May/21
$$\Phi=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{z}^{\mathrm{4}} \right)}{\:\sqrt{\mathrm{z}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{z}\right)}\mathrm{dz}\:\Rightarrow\Phi=_{\sqrt{\mathrm{z}}=\mathrm{x}} \:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{8}} \right)}{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{8}} \right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{8}} \:+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:\mathrm{let} \\ $$$$\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{z}^{\mathrm{8}} \:+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{z}^{\mathrm{8}} \:+\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)} \\ $$$$\int_{\mathrm{R}} \varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\:\mathrm{Res}\left(\varphi\:,\mathrm{i}\right)\:=\mathrm{2i}\pi×\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{i}^{\mathrm{8}} \:+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2i}}\:=\pi\:\mathrm{log}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{this}\:\mathrm{method}\:\mathrm{by}\:\mathrm{residus}\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{sure}…! \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 10/May/21
$$\mathrm{let}\:\mathrm{try}\:\mathrm{another}\:\mathrm{way}\:\:\Phi=\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{8}} \:+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{8}} +\mathrm{1}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\:=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{8}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{8}} \right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)=\Phi \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{8a}^{\mathrm{7}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{8}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{8}} \right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx}\:=\mathrm{8a}^{\mathrm{7}} \:\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{8}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{8}} \right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{8}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{8}} \:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right)^{\mathrm{8}} \:=−\mathrm{1}\:=\mathrm{e}^{\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\mathrm{i}\pi} \:\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{8}} \:=\mathrm{a}^{\mathrm{8}} \:\mathrm{e}^{\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\mathrm{i}\pi} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{k}} =\mathrm{a}\:\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\frac{\pi}{\mathrm{8}}} \:\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{8}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{8}} \:=\prod_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{7}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{a}\:\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\frac{\pi}{\mathrm{8}}} \right) \\ $$$$\mathrm{let}\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{8}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{8}} \right)\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)\prod_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{7}} \:\left(\mathrm{z}−\mathrm{ae}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\frac{\pi}{\mathrm{8}}} \right)} \\ $$$$\mathrm{z}_{\mathrm{k}} =\mathrm{ae}^{\frac{\mathrm{i}\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\pi}{\mathrm{8}}} \:\Rightarrow\mathrm{z}_{\mathrm{0}} =\mathrm{a}\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{8}}} \:,\mathrm{z}_{\mathrm{1}} =\mathrm{ae}^{\mathrm{i}\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{8}}} \:,\mathrm{z}_{\mathrm{2}} =\mathrm{ae}^{\frac{\mathrm{i5}\pi}{\mathrm{8}}} \\ $$$$\mathrm{z}_{\mathrm{3}} =\mathrm{a}\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i7}\pi}{\mathrm{8}}} \:\:,\mathrm{z}_{\mathrm{4}} =\mathrm{ae}^{\frac{\mathrm{i9}\pi}{\mathrm{8}}} \:,\mathrm{z}_{\mathrm{5}} =\mathrm{ae}^{\frac{\mathrm{i11}\pi}{\mathrm{8}}} \:,\mathrm{z}_{\mathrm{6}} =\mathrm{ae}^{\frac{\mathrm{i13}\pi}{\mathrm{8}}} \:,\mathrm{z}_{\mathrm{7}} =\mathrm{ae}^{\frac{\mathrm{i15}\pi}{\mathrm{8}}} \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\:\left\{\:\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right)+\mathrm{Res}\left(\varphi\:,\mathrm{ae}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{8}}} \right)+\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{ae}^{\frac{\mathrm{i3}\pi}{\mathrm{8}}} \right)\right. \\ $$$$\left.+\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{a}\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i5}\pi}{\mathrm{8}}} \right)\right\} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}\prod_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{7}} \left(\mathrm{i}−\mathrm{ae}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\frac{\pi}{\mathrm{8}}} \right)} \\ $$$$\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}^{\mathrm{10}} \:+\mathrm{z}^{\mathrm{8}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{8}} \mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{8}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{p}\left(\mathrm{z}\right)}\:\Rightarrow\mathrm{Res}\left(\varphi\:,\mathrm{z}_{\mathrm{i}} \right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{p}^{'} \left(\mathrm{z}_{\mathrm{i}} \right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10z}_{\mathrm{i}} ^{\mathrm{9}} \:+\mathrm{8}\:\mathrm{z}_{\mathrm{i}} ^{\mathrm{7}} \:+\mathrm{2a}^{\mathrm{8}} \:\mathrm{z}_{\mathrm{i}} }\:\:\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{ae}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{8}}} \right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}\left(\mathrm{ae}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{8}}} \right)^{\mathrm{9}} \:+\mathrm{8}\left(\mathrm{ae}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{8}}} \right)^{\mathrm{7}} \:+\mathrm{2a}^{\mathrm{8}} \:\left(\mathrm{ae}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{8}}} \right)} \\ $$$$….\mathrm{be}\:\mathrm{continued}… \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 10/May/21
$${z}={u}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{log}\left(\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{8}} \right)}{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\mathrm{2}\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{{log}\left(\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{8}} \right)}{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }{du}+\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{log}\left(\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{8}} \right)}{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }{du}\:\:\:{u}=\frac{\mathrm{1}}{{j}} \\ $$$$=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{log}\left(\mathrm{1}+{j}^{\mathrm{8}} \right)−{log}\left({j}^{\mathrm{8}} \right)}{\mathrm{1}+{j}^{\mathrm{2}} }{dj}+\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{log}\left(\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{8}} \right)}{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }{du} \\ $$$$=\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{log}\left(\mathrm{1}+{j}^{\mathrm{8}} \right)}{\mathrm{1}+{j}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{16}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{log}\left({j}\right)}{\mathrm{1}+{j}^{\mathrm{2}} }{dj} \\ $$$$=\mathrm{4}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {j}^{\mathrm{2}{n}} {log}\left(\mathrm{1}+{j}^{\mathrm{8}} \right){dj}−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{k}^{−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}} {log}\left({k}\right)}{\mathrm{1}−{k}}{dk} \\ $$$$=\mathrm{4}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \left(\frac{{log}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}−\mathrm{8}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{j}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{8}} }{\mathrm{1}+{j}^{\mathrm{8}} }{dj}\right)+\psi'\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$=\pi{log}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{32}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{j}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{8}} −{j}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{16}} }{\mathrm{1}−{j}^{\mathrm{16}} }{dj}+\psi'\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$=\pi{log}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{k}^{\frac{{n}}{\mathrm{8}}−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}} −{k}^{\frac{{n}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}} }{\mathrm{1}−{k}}{dk}+\psi'\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$=\pi{log}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \left(\psi\left(\frac{{n}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{8}}\right)−\psi\left(\frac{{n}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\right)\right)+\psi'\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$=\pi{log}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \left(\frac{\mathrm{8}}{{n}+\mathrm{1}}\right)+\psi'\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$=\pi{log}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{16}{log}\left(\mathrm{2}\right)+\psi'\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 11/May/21
$$\left.{Sir},\:{answer}\:\mathrm{4}\pi{ln}\left(\sqrt{\mathrm{2}}+\sqrt{\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right.}\right)\right) \\ $$$${simplify},\:{psi}\left(\mathrm{1}/\mathrm{4}\right)\:{pliz} \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 12/May/21
$${Sir},\:{Dwaipayan}\:{Shikari}\:{pliz}… \\ $$