Question Number 135892 by mathmax by abdo last updated on 16/Mar/21
$$\left.\mathrm{1}\right)\mathrm{decompose}\:\mathrm{inside}\:\mathrm{R}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{the}\:\mathrm{fraction}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{calculate}\:\int_{\mathrm{2}} ^{\infty} \:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\left.\mathrm{3}\right)\:\mathrm{calculate}\:\int_{\mathrm{2}} ^{\infty} \:\mathrm{F}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 17/Mar/21
$$\left.\mathrm{1}\right)\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{i}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} \:\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{i}} }{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{i}} }+\sum_{\mathrm{i}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{4}} \:\frac{\mathrm{b}_{\mathrm{i}} }{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{i}} }\:\:\:\:\mathrm{whst}\:\mathrm{s}\:\mathrm{a}_{\mathrm{i}} ? \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{find}\:\mathrm{D}_{\mathrm{3}} \left(−\mathrm{2}\right)\:\mathrm{for}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(−\mathrm{2}\right)\:+\frac{\mathrm{x}+\mathrm{2}}{\mathrm{1}!}\mathrm{f}^{'} \left(−\mathrm{2}\right)+\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}!}\mathrm{f}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(−\mathrm{2}\right)+\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}!}\mathrm{f}^{\left(\mathrm{3}\right)} \left(−\mathrm{2}\right)+\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{4}} }{\mathrm{4}!}\xi\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{f}\left(−\mathrm{2}\right)=\left(−\mathrm{3}\right)^{−\mathrm{4}} \:,\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=−\mathrm{4}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{5}} \:\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(−\mathrm{2}\right)=−\mathrm{4}\left(−\mathrm{3}\right)^{−\mathrm{5}} \\ $$$$\mathrm{f}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{20}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{6}} \:\Rightarrow\mathrm{f}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(−\mathrm{2}\right)=\mathrm{20}\left(−\mathrm{3}\right)^{−\mathrm{6}} \\ $$$$\mathrm{f}^{\left(\mathrm{3}\right)} \left(\mathrm{x}\right)=−\mathrm{120}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{−\mathrm{7}} \Rightarrow\mathrm{f}^{\left(\mathrm{3}\right)} \left(−\mathrm{2}\right)=−\mathrm{120}\left(−\mathrm{3}\right)^{−\mathrm{7}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(−\mathrm{3}\right)^{−\mathrm{4}} \:−\mathrm{4}\left(−\mathrm{3}\right)^{−\mathrm{5}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{20}\left(−\mathrm{3}\right)^{−\mathrm{6}} }{\mathrm{2}}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{120}\left(−\mathrm{3}\right)^{−\mathrm{7}} }{\mathrm{3}!}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$+\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{4}} }{\mathrm{4}!}\xi\left(\mathrm{x}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} }=\frac{\left(−\mathrm{3}\right)^{−\mathrm{4}} }{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{4}\left(−\mathrm{3}\right)^{−\mathrm{5}} }{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{10}\left(−\mathrm{3}\right)^{−\mathrm{6}} }{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)}\:+…\:\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{10}.\left(−\mathrm{3}\right)^{−\mathrm{6}} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{4}\left(−\mathrm{3}\right)^{−\mathrm{5}} \:\:,\mathrm{a}_{\mathrm{3}} =\left(−\mathrm{3}\right)^{−\mathrm{4}} \:\mathrm{let}\:\mathrm{find}\:\mathrm{b}_{\mathrm{i}} \:\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{find}\:\mathrm{D}_{\mathrm{3}} \left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{for}\:\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{−\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{1}!}\mathrm{g}^{'} \left(\mathrm{1}\right)\:+\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}!}\mathrm{g}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{1}\right)\:+\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}!}\mathrm{g}^{\left(\mathrm{3}\right)} \left(\mathrm{1}\right)\:+\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }{\mathrm{4}!}\delta\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{3}^{−\mathrm{3}} \:\:\:\:,\:\mathrm{g}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=−\mathrm{3}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{−\mathrm{4}} \:\Rightarrow\mathrm{g}^{'} \left(\mathrm{1}\right)=−\mathrm{3}.\mathrm{3}^{−\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{g}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{12}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{−\mathrm{5}} \:\Rightarrow\mathrm{g}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{12}.\mathrm{3}^{−\mathrm{5}} \:\mathrm{g}^{\left(\mathrm{3}\right)} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{12}.\mathrm{5}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{−\mathrm{6}} \:\Rightarrow\mathrm{g}^{\left(\mathrm{3}\right)} \left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{60}.\mathrm{3}^{−\mathrm{6}} \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{3}^{−\mathrm{3}} \:−\mathrm{3}.\mathrm{3}^{−\mathrm{4}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{12}.\mathrm{3}^{−\mathrm{5}} }{\mathrm{2}}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{60}.\mathrm{3}^{−\mathrm{6}} }{\mathrm{3}!}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \:+… \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{27}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{27}}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\:+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{81}}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{10}.\mathrm{3}^{−\mathrm{6}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \:+\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }{\mathrm{4}!}\delta\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{27}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{27}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{81}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{10}.\mathrm{3}^{−\mathrm{6}} }{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{b}_{\mathrm{1}} =\mathrm{10}.\mathrm{3}^{−\mathrm{6}} \:,\:\mathrm{b}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{81}}\:\:,\mathrm{b}_{\mathrm{3}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{27}}\:,\mathrm{b}_{\mathrm{4}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{27}}\:\Rightarrow \\ $$$$ \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 17/Mar/21
$$\left.\mathrm{2}\right)\:\int_{\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }\:=\int_{\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{7}} }\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement} \\ $$$$\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}=\mathrm{t}\:\Rightarrow\mathrm{x}−\mathrm{1}=\mathrm{tx}+\mathrm{2t}\:\:\Rightarrow\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)\mathrm{x}=\mathrm{1}+\mathrm{2t}\:\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2t}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)−\left(\mathrm{1}+\mathrm{2t}\right)\left(−\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{2}−\mathrm{2t}+\mathrm{1}+\mathrm{2t}\:}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{3}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{2}=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2t}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}+\mathrm{2}=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2t}+\mathrm{2}−\mathrm{2t}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}=\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} \left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\right)^{\mathrm{7}} }\frac{\mathrm{3dt}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{6}} }\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} ^{\mathrm{1}} \frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{7}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{6}} }\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{5}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} }\mathrm{dt}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{6}} }\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{5}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{5}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{k}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{5}−\mathrm{k}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{6}} }\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{5}} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{5}} ^{\mathrm{k}} \:\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{k}−\mathrm{4}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{6}} }\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{k}\neq\mathrm{3}} ^{\mathrm{5}} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{5}} ^{\mathrm{k}} \:\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}−\mathrm{3}}\mathrm{t}^{\mathrm{k}−\mathrm{3}} \right]_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} ^{\mathrm{1}} \:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{6}} }\mathrm{C}_{\mathrm{5}} ^{\mathrm{3}} \left[\mathrm{ln}\mid\mathrm{t}\mid\right]_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{6}} }\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{k}\neq\mathrm{3}} ^{\mathrm{5}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{5}} ^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}−\mathrm{3}}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}^{\mathrm{k}−\mathrm{3}} }\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{6}} }\mathrm{C}_{\mathrm{5}} ^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{2ln}\left(\mathrm{2}\right)\right) \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 17/Mar/21
$$\mathrm{let}\:\Phi=\int_{\mathrm{2}} ^{\infty} \:\mathrm{F}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:\Rightarrow\Phi\:=\int_{\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{6}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{8}} } \\ $$$$=\int_{\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{8}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{14}} }\:\:\mathrm{chamgement}\:\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}=\mathrm{t}\:\mathrm{give} \\ $$$$\Phi\:=\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{8}} \left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\right)^{\mathrm{14}} }\frac{\mathrm{3dt}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{13}} }\:\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{12}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{8}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{13}} }\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{8}} }\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{12}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{k}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{12}−\mathrm{k}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{13}} }\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{12}} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{k}} \:\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{k}−\mathrm{8}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{13}} }\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{k}\neq\mathrm{7}} ^{\mathrm{12}} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{k}} \:\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}−\mathrm{7}}\mathrm{t}^{\mathrm{k}−\mathrm{7}} \right]_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} ^{\mathrm{1}} −\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{13}} }\mathrm{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{7}} \:\left[\mathrm{ln}\mid\mathrm{t}\mid\right]_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$\Phi=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{13}} }\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{k}\neq\mathrm{7}} ^{\mathrm{12}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}−\mathrm{7}}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}^{\mathrm{k}−\mathrm{7}} }\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{13}} }\mathrm{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{7}} \left(\mathrm{2ln}\left(\mathrm{2}\right)\right) \\ $$