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1-find-dx-x-1-2-x-3-4-2-deduce-the-decomposition-of-F-x-1-x-1-2-x-3-4-

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Question Number 135957 by mathmax by abdo last updated on 17/Mar/21
1) find ∫ (dx/((x+1)^2 (x−3)^4 )) 2) deduce the decomposition of F(x)=(1/((x+1)^2 (x−3)^4 ))
$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{find}\:\int\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{deduce}\:\mathrm{the}\:\mathrm{decomposition}\:\mathrm{of}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 17/Mar/21
(1/((x+1)^2 (x−3)^4 ))=(1/((x−3)^2 ))((1/((x+1)(x−3))))^2 =τ(x) =(1/(16))((1/((x−3)^2 (x+1)^2 ))−(2/((x−3)^3 (x+1)))+(1/((x−3)^4 ))) =(1/(256))((1/((x−3)^2 ))+(1/((x+1)^2 ))−(2/((x−3)(x+1))))−(1/(32(x−3)^2 ))((1/(x−3))−(1/(x+1)))+(1/(16(x−3)^4 )) =(1/(256(x−3)^2 ))+(1/(256(x+1)^2 ))−(1/(512(x−3)))+(1/(512(x+1)))−(1/(32(x−3)^3 ))+(1/(128(x−3)^2 ))−(1/(512(x−3)))+(1/(512(x+1)))+(1/(16(x−3)^4 )) =(3/(256(x−3)^2 ))−(1/(256(x−3)))+(1/(256(x+1)))+(1/(256(x+1)^2 ))+(1/(32(x−3)^3 ))+(1/(16(x−3)^4 ))
$$\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{4}} }=\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }\left(\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right)}\right)^{\mathrm{2}} =\tau\left({x}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{2}}{\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{3}} \left({x}+\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{4}} }\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{256}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{2}}{\left({x}−\mathrm{3}\right)\left({x}+\mathrm{1}\right)}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{256}\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{256}\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{512}\left({x}−\mathrm{3}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{512}\left({x}+\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{128}\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{512}\left({x}−\mathrm{3}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{512}\left({x}+\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{256}\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{256}\left({x}−\mathrm{3}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{256}\left({x}+\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{256}\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 17/Mar/21
1) Φ=∫ (dx/((x+1)^2 (x−3)^4 )) ⇒Φ=∫ (dx/((((x−3)/(x+1)))^4 (x+1)^6 )) we do the changement ((x−3)/(x+1))=t ⇒x−3=tx+t ⇒(1−t)x=3+t ⇒ x=((3+t)/(1−t)) ⇒ (dx/dt)=((1−t−(3+t)(−1))/((1−t)^2 ))=((1−t+3+t)/((1−t)^2 ))=(4/((1−t)^2 )) and x+1 =((3+t)/(1−t))+1 =((3+t+1−t)/(1−t))=(4/(1−t)) ⇒ Φ=∫ (1/(t^4 ((4/(1−t)))^6 ))((4dt)/((1−t)^2 )) =(1/4^5 )∫ (((1−t)^4 )/t^4 )dt =(1/4^5 )∫ (((t−1)^4 )/t^4 ) dt =(1/4^5 )∫ (((t^2 −2t+1)^2 )/t^4 )dt =(1/4^5 )∫ (((t^2 −2t)^2 +2(t^2 −2t)+1)/t^4 )dt =(1/4^5 )∫ ((t^4 −4t^3 +4t^2 +2t^2 −4t +1)/t^4 )dt =(1/4^5 )∫ ((t^4 −4t^3 +6t^2 −4t+1)/t^4 )dt =(1/4^5 ){ ∫ (1−(4/t)+(6/t^2 )−(4/t^3 )+(1/t^4 ))dt} ⇒4^5 .Φ =t−4ln∣t∣−(6/t)−4.(1/(−3+1))t^(−3+1) +(1/(−4+1))t^(−4+1) +C =t−4ln∣t∣−(6/t) +(2/t^2 )−(1/(3t^3 )) +C =((x−3)/(x+1))−4ln∣((x−3)/(x+1))∣ −6.((x+1)/(x−3)) +2(((x+1)/(x−3)))^2 −(1/3)(((x+1)/(x−3)))^3 +C ⇒ Φ=(1/4^5 ){((x−3)/(x+1))−4ln∣((x−3)/(x+1))∣−((6(x+1))/(x−3))+2(((x+1)/(x−3)))^2 −(1/3)(((x+1)/(x−3)))^2 } +C
$$\left.\mathrm{1}\right)\:\Phi=\int\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{4}} }\:\:\Rightarrow\Phi=\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{3}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{6}} } \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement}\:\frac{\mathrm{x}−\mathrm{3}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}=\mathrm{t}\:\Rightarrow\mathrm{x}−\mathrm{3}=\mathrm{tx}+\mathrm{t}\:\Rightarrow\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)\mathrm{x}=\mathrm{3}+\mathrm{t}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{x}=\frac{\mathrm{3}+\mathrm{t}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\:\Rightarrow\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{t}−\left(\mathrm{3}+\mathrm{t}\right)\left(−\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{t}+\mathrm{3}+\mathrm{t}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{4}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{1}\:=\frac{\mathrm{3}+\mathrm{t}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}+\mathrm{1}\:=\frac{\mathrm{3}+\mathrm{t}+\mathrm{1}−\mathrm{t}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\:\Rightarrow \\ $$$$\Phi=\int\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} \left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\right)^{\mathrm{6}} }\frac{\mathrm{4dt}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}^{\mathrm{5}} }\int\:\:\:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)^{\mathrm{4}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}^{\mathrm{5}} }\int\:\:\frac{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} }\:\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}^{\mathrm{5}} }\int\:\frac{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}^{\mathrm{5}} }\int\:\:\frac{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2t}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2t}\right)+\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}^{\mathrm{5}} }\int\:\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} −\mathrm{4t}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{4t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4t}\:+\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}^{\mathrm{5}} }\int\:\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} −\mathrm{4t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4t}+\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}^{\mathrm{5}} }\left\{\:\int\:\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{t}}+\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} }\right)\mathrm{dt}\right\} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{4}^{\mathrm{5}} \:.\Phi\:=\mathrm{t}−\mathrm{4ln}\mid\mathrm{t}\mid−\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{t}}−\mathrm{4}.\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{3}+\mathrm{1}}\mathrm{t}^{−\mathrm{3}+\mathrm{1}} \:+\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{4}+\mathrm{1}}\mathrm{t}^{−\mathrm{4}+\mathrm{1}} \:+\mathrm{C} \\ $$$$=\mathrm{t}−\mathrm{4ln}\mid\mathrm{t}\mid−\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{t}}\:+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3t}^{\mathrm{3}} }\:+\mathrm{C} \\ $$$$=\frac{\mathrm{x}−\mathrm{3}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{4ln}\mid\frac{\mathrm{x}−\mathrm{3}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mid\:−\mathrm{6}.\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\:+\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{C}\:\Rightarrow \\ $$$$\Phi=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}^{\mathrm{5}} }\left\{\frac{\mathrm{x}−\mathrm{3}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\mathrm{4ln}\mid\frac{\mathrm{x}−\mathrm{3}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mid−\frac{\mathrm{6}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}+\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} \right\}\:+\mathrm{C} \\ $$$$ \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 17/Mar/21
2) F(x)=(d/dx)Φ (((x−3)/(x+1)))^((1)) =((x+1−(x−3))/((x+1)^2 ))=(4/((x+1)^2 )) =(ln∣((x−3)/(x+1))∣)^((1)) =(4/((x+1)^2 ))×((x+1)/(x−3)) =(4/((x+1)(x−3)))=(1/(x−3))−(1/(x+1)) (((x+1)/(x−3)))^((1)) =((x−3−(x+1))/((x−3)^2 ))=((−4)/((x−3)^2 )) {(((x+1)/(x−3)))^2 }^((1)) =2(((x+1)/(x−3)))×((−4)/((x−3)^2 ))=−((8(x+1))/((x−3)^3 )) =−8((x−3+4)/((x−3)^3 ))=−(8/((x−3)^2 ))−((32)/((x−3)^3 )) (((x+1)/(x−3)))^3 }^((1)) =3(((x+1)/(x−3)))^2 .((−4)/((x−3)^2 )) =−12(((x+1)^2 )/((x−3)^3 )) =−12 (((x−3+4)^2 )/((x−3)^3 )) =−12.(((x−3)^2 +8(x−3)+16)/((x−3)^3 )) =−12{(1/((x−3)))+(8/((x−3)^2 ))+((16)/((x−3)^3 ))} rest to collect the values...
$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\Phi \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{3}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)^{\left(\mathrm{1}\right)} \:=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}−\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{4}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\left(\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{x}−\mathrm{3}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mid\right)^{\left(\mathrm{1}\right)} \:=\frac{\mathrm{4}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }×\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\:=\frac{\mathrm{4}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\right)^{\left(\mathrm{1}\right)} \:=\frac{\mathrm{x}−\mathrm{3}−\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{−\mathrm{4}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\left\{\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} \right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \:=\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\right)×\frac{−\mathrm{4}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }=−\frac{\mathrm{8}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=−\mathrm{8}\frac{\mathrm{x}−\mathrm{3}+\mathrm{4}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{3}} }=−\frac{\mathrm{8}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{32}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\left.\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{3}} \right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \:=\mathrm{3}\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} .\frac{−\mathrm{4}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }\:=−\mathrm{12}\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=−\mathrm{12}\:\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}+\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{3}} }\:=−\mathrm{12}.\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{8}\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)+\mathrm{16}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=−\mathrm{12}\left\{\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)}+\frac{\mathrm{8}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{16}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{3}} }\right\}\:\:\mathrm{rest}\:\mathrm{to}\:\mathrm{collect}\:\mathrm{the}\:\mathrm{values}… \\ $$

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