Question Number 138710 by bramlexs22 last updated on 17/Apr/21
$$\underset{\mathrm{1}} {\int}^{\:\infty} \:\frac{\mathrm{ln}\:{x}}{\left(\mathrm{1}+{x}\right)\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}\:{dx}\:=? \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 17/Apr/21
$$\Phi=\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{logx}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\Phi=_{\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}} \:−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{−\mathrm{logt}}{\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)}\left(−\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{tlogt}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt}\:=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}−\mathrm{1}\right)\mathrm{logt}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt} \\ $$$$=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{logt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{logt}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{logt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{logt}\sum_{\mathrm{n0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{t}^{\mathrm{2n}} \mathrm{dt} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\mathrm{t}^{\mathrm{2n}} \:\mathrm{logt}\:\mathrm{dt}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{u}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\left[\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\mathrm{logt}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2n}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{logt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=−\mathrm{K}\left(\mathrm{katalan}\:\mathrm{constant}\right) \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{logt}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{t}−\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\right)\mathrm{logt}\:\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{logt}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)\mathrm{logt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{logt}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:=\left[\mathrm{log}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\mathrm{logt}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{t}}\mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{t}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}+\mathrm{c}\left(\mathrm{c}=\mathrm{0}\right)\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{t}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:}{\mathrm{n}}\mathrm{dt} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\:=−\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$=−\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)\mathrm{logt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)\mathrm{logt}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{2n}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{t}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} −\mathrm{t}^{\mathrm{2n}} \right)\mathrm{logt}\:\mathrm{dt} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{v}_{\mathrm{n}} \:\:\mathrm{with}\:\mathrm{v}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{t}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} −\mathrm{t}^{\mathrm{2n}} \right)\mathrm{logt}\:\mathrm{dt} \\ $$$$=\left[\left(\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2n}+\mathrm{2}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{logt}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2n}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)\mathrm{logt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{4}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{K} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{K}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{2}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right).\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}} \\ $$$$=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{48}}\:\:\:\mathrm{rest}\:\mathrm{to}\:\mathrm{collect}\:\mathrm{the}\:\mathrm{values}… \\ $$
Answered by Kamel last updated on 17/Apr/21
$$\Omega=\int_{\mathrm{1}} ^{+\infty} \frac{{Ln}\left({x}\right)}{\left(\mathrm{1}+{x}\right)\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}{dx}=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{tLn}\left({t}\right){dt}}{\left(\mathrm{1}+{t}\right)\left(\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$\frac{{t}}{\left(\mathrm{1}+{t}\right)\left(\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} \right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{{t}\left(\mathrm{1}−{t}\right)}{\left(\mathrm{1}−{t}^{\mathrm{2}} \right)}+\frac{{t}\left(\mathrm{1}−{t}\right)}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{t}}−\frac{\mathrm{1}+{t}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$\therefore\:\Omega\overset{{u}={t}^{\mathrm{2}} } {=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{Ln}\left({t}\right)}{\mathrm{1}+{t}}{dt}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{Ln}\left({u}\right)}{\mathrm{1}+{u}}{du}−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{Ln}\left({t}\right)}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }{dt}\right)=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{Ln}\left(\mathrm{1}+{t}\right)}{{t}}{dt}+\frac{{G}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}{Li}_{\mathrm{2}} \left(−\mathrm{1}\right)+\frac{{G}}{\mathrm{2}}=\frac{{G}}{\mathrm{2}}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{32}} \\ $$
Answered by qaz last updated on 17/Apr/21
$$\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{{ln}\:{x}}{\left(\mathrm{1}+{x}\right)\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{−{xlnx}}{\left(\mathrm{1}+{x}\right)\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{x}}−\frac{\mathrm{1}+{x}}{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }\right){lnxdx} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{{x}}{dx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {x}^{\mathrm{2}{n}} {lnxdx}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}{{x}}{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{Li}_{\mathrm{2}} \left(−\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {x}^{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}} {dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{Li}_{\mathrm{2}} \left(−\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{G}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{Li}_{\mathrm{2}} \left(−\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{G}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}{Li}_{\mathrm{2}} \left(−\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{G}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\zeta\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{G}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{32}} \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 17/Apr/21
$$\Omega=\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\mathrm{lnx}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}\mathrm{dx}\:,\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}} \\ $$$$\:\:\:\:=\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{0}} \frac{\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\right)}{\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)}\centerdot\left(−\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{tlnt}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)}\mathrm{dt} \\ $$$$\frac{\mathrm{t}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{bt}+\mathrm{c}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{a}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{bt}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{a}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:,\:\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{0}\:,\:\mathrm{b}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\:\mathrm{a}+\mathrm{c}=\mathrm{0},\:\mathrm{c}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\frac{\mathrm{t}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)}+\frac{\mathrm{1}+\mathrm{t}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$\Omega=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{lnt}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\mathrm{dt}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{lnt}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{tlnt}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt} \\ $$$$\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)\mathrm{lnt}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{tan}\theta\right)\mathrm{d}\theta−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{u}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{u}}\mathrm{du} \\ $$$$\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\left(\mathrm{v}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{v}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{v}}\mathrm{dv}+\frac{\mathrm{G}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{u}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{u}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }\mathrm{du} \\ $$$$\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\left(\mathrm{v}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{v}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{v}}\mathrm{dv}+\frac{\mathrm{G}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\left(\mathrm{p}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{p}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{p}}\mathrm{dp} \\ $$$$\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left\{\psi'\left(\mathrm{1}\right)−\psi'\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\right\}+\frac{\mathrm{G}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}\left\{\psi'\left(\mathrm{1}\right)−\psi'\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\right\} \\ $$$$\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\zeta\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{3}\zeta\left(\mathrm{2}\right)\right)+\frac{\mathrm{G}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}\left(\zeta\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{3}\zeta\left(\mathrm{2}\right)\right) \\ $$$$\:\:\:\:=\frac{\mathrm{G}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{32}}\left(\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right)=\frac{\mathrm{G}}{\mathrm{2}}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{32}} \\ $$