Question Number 72665 by TawaTawa last updated on 31/Oct/19
$$\int_{\:\mathrm{2}} ^{\:\mathrm{3}} \:\:\frac{\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx} \\ $$
Commented by mind is power last updated on 31/Oct/19
$$\mathrm{non}\:\mathrm{close}\:\mathrm{value}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{to}\:\:\mathrm{use}\:\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{function}\: \\ $$$$ \\ $$
Commented by TawaTawa last updated on 31/Oct/19
$$\mathrm{Help}\:\mathrm{sir} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 31/Oct/19
$${let}\:{I}\:=\int_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{3}} \:\frac{{arctan}\left({x}\right)}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }{dx}\:=_{{x}=\mathrm{2}+{t}} \:\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{{arctan}\left(\mathrm{2}+{t}\right)}{\mathrm{1}−\left(\mathrm{2}+{t}\right)^{\mathrm{2}} }{dt} \\ $$$$=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{{arctan}\left(\mathrm{2}+{t}\right)}{\left({t}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{dt}\:=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{{arctan}\left({t}+\mathrm{2}\right)}{\left({t}+\mathrm{1}\right)\left({t}+\mathrm{3}\right)}{dt} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\:{arctan}\left({t}+\mathrm{2}\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{{t}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{{t}+\mathrm{3}}\right){dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{{arctan}\left({t}+\mathrm{2}\right)}{{t}+\mathrm{3}}{dt}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{{arctan}\left({t}+\mathrm{2}\right)}{{t}+\mathrm{1}}{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{H}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{K}\:\: \\ $$$${H}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{{arctan}\left({t}+\mathrm{2}\right)}{{t}+\mathrm{3}}{dt}\:{and}\:{K}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{{arctan}\left({t}+\mathrm{2}\right)}{{t}+\mathrm{1}}{dt} \\ $$$${let}\:{f}\left({x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{{arctan}\left({t}+{x}\right)}{{t}+\mathrm{3}}{dt}\:\:{with}\:{x}\geqslant\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$${f}^{'} \left({x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\left({t}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{1}+\left({t}+{x}\right)^{\mathrm{2}} \right)}{dt}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{{dt}}{\left({t}+\mathrm{3}\right)\left({t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{xt}\:\:+{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)} \\ $$$${let}\:{decompose}\:{F}\left({t}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left({t}+\mathrm{3}\right)\left({t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{xt}\:+{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)} \\ $$$${F}\left({t}\right)=\frac{{a}}{{t}+\mathrm{3}}\:+\frac{{bt}\:+{c}}{{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{xt}\:+{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$${a}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}−\mathrm{6}{x}\:+{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$${lim}_{{t}\rightarrow+\infty} {tF}\left({t}\right)=\mathrm{0}={a}+{b}\:\Rightarrow{b}=\frac{−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{x}\:+\mathrm{10}} \\ $$$${F}\left(\mathrm{0}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\left({x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:=\frac{{a}}{\mathrm{3}}\:+\frac{{c}}{{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:=\frac{{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{a}\:+{c}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{1}=\left({x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right){a}\:+\mathrm{3}{c}\:\Rightarrow\mathrm{3}{c}=\mathrm{1}−\left({x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)×\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{x}\:+\mathrm{10}} \\ $$$$\Rightarrow{c}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{1}−\frac{{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{x}\:+\mathrm{10}}\right) \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:{F}\left({t}\right){dt}\:={a}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{{dt}}{{t}+\mathrm{3}}\:+\frac{{b}}{\mathrm{2}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{2}{t}\:+\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{x}\:}{{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{xt}\:+{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{dt} \\ $$$$\left.={a}\left[{ln}\left({t}+\mathrm{3}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:+\frac{{b}}{\mathrm{2}}{ln}\left({t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{xt}\:+{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{{x}} \:+{c}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{xt}\:+{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{xt}\:+{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{{dt}}{\left({t}+{x}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:=_{{t}+{x}={u}} \:\:\:\int_{{x}} ^{{x}+\mathrm{1}} \:\frac{{du}}{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$={arctan}\left({x}+\mathrm{1}\right)−{arctanx}\:\Rightarrow \\ $$$${f}^{'} \left({x}\right)={a}\left\{{ln}\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\right)\right\}+\frac{{b}}{\mathrm{2}}\left({ln}\left(\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)−{ln}\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)+{c}\left({arctan}\left({x}+\mathrm{1}\right)−{arctanx}\right)\right. \\ $$$$\Rightarrow{f}\left({x}\right)={aln}\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\right){x}\:+\frac{{b}}{\mathrm{2}}\int{ln}\left(\frac{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right){dx}\:+{c}\int\:\left({arctan}\left({x}+\mathrm{1}\right)−{arctan}\left({x}\right)\right){dx}\:+{c} \\ $$$$….{be}\:{continued}…. \\ $$
Commented by TawaTawa last updated on 01/Nov/19
$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}.\:\:\mathrm{Waiting}\:\mathrm{for}\:\mathrm{the}\:\mathrm{rest}\:\mathrm{sir} \\ $$$$\mathrm{Thanks}\:\mathrm{for}\:\mathrm{your}\:\mathrm{time}\:\mathrm{sir}. \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 01/Nov/19
$${you}\:{are}\:{welcome}. \\ $$
Answered by mind is power last updated on 31/Oct/19
$$\mathrm{let}\:\mathrm{u}=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{tg}\left(\mathrm{u}\right)\Rightarrow\mathrm{dx}=\left(\mathrm{1}+\mathrm{tg}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{u}\right)\:\right)\mathrm{du} \\ $$$$\int_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{3}} \frac{\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }{dx}=\int_{\mathrm{tan}^{−} \left(\mathrm{2}\right)} ^{\mathrm{tsn}^{−} \left(\mathrm{3}\right)} \frac{\mathrm{u}.\left(\mathrm{1}+\mathrm{tg}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{u}\right)\right)\mathrm{du}}{\mathrm{1}−\mathrm{tg}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{u}\right)} \\ $$$$=\int−\mathrm{udu}+\mathrm{2}\int\frac{\mathrm{udu}}{\mathrm{1}−\mathrm{tg}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{u}\right)} \\ $$$$−\mathrm{ln}\left(\mathrm{u}\right)+\mathrm{2}\int\frac{\mathrm{udu}}{\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{iu}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{iu}} }{\mathrm{i}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{iu}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{iu}} \right)}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{2}\int\frac{\mathrm{udu}.}{\frac{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{iu}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{iu}} \right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{e}^{\mathrm{iu}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{iu}} \right)^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{iu}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{iu}} \right)^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$=\mathrm{2}\int\frac{\mathrm{u}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{2iu}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{2iu}} +\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2e}^{\mathrm{2iu}} +\mathrm{2e}^{−\mathrm{2iu}} }\mathrm{du}=\int\mathrm{udu}+\mathrm{2}\int\frac{\mathrm{udu}}{\mathrm{e}^{\mathrm{2iu}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{2iu}} } \\ $$$$=\mathrm{2}\int\frac{\mathrm{ue}^{\mathrm{2iu}} \mathrm{du}}{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{4iu}} }=\mathrm{2}\int\frac{\mathrm{ue}^{\mathrm{2iu}} \mathrm{du}}{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{2iu}} +\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{e}^{\mathrm{2iu}} −\mathrm{i}\right)}=\int\frac{\mathrm{udu}}{\mathrm{e}^{\mathrm{2iu}} +\mathrm{i}}+\int\frac{\mathrm{udu}}{\mathrm{e}^{\mathrm{2iu}} −\mathrm{i}} \\ $$$$=\int\frac{\mathrm{udu}}{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{iu}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{i}\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \right)\left(\mathrm{e}^{\mathrm{iu}} −\mathrm{e}^{\frac{−\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)}+\int\frac{\mathrm{udu}}{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{iu}} +\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \right)\left(\mathrm{e}^{\mathrm{iu}} −\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2e}^{\frac{−\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} }\left\{\int\frac{\mathrm{udu}}{\mathrm{e}^{\mathrm{iu}} −\mathrm{e}^{\frac{−\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} }−\int\frac{\mathrm{udu}}{\mathrm{e}^{\mathrm{iu}} +\mathrm{e}^{\frac{−\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} }\right\}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} }\left\{\int\frac{\mathrm{udu}}{\mathrm{e}^{\mathrm{iu}} −\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} }−\int\frac{\mathrm{udu}}{\mathrm{e}^{\mathrm{iu}} +\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} }\right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{\mathrm{2}}} }{\mathrm{2}}\left\{\int\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{u}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)} −\mathrm{1}}\mathrm{du}\right\}−\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{i}\frac{\pi}{\mathrm{2}}} }{\mathrm{2}}\left\{\int\frac{\mathrm{udu}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{u}−\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{4}}\right)} −\mathrm{1}}\right\}+\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{i}\frac{\pi}{\mathrm{2}}} }{\mathrm{2}}\left\{\int\frac{\mathrm{udu}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{u}−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)} −\mathrm{1}}\right\}−\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{\mathrm{2}}} }{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{udu}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{u}+\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{4}}\right)} −\mathrm{1}} \\ $$$$\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}−\mathrm{z}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}=\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{z}\right) \\ $$$$\int_{\mathrm{tan}^{−} \left(\mathrm{2}\right)} ^{\mathrm{tan}^{−} \left(\mathrm{3}\right)} \frac{\mathrm{udu}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{u}+\mathrm{c}\right)} −\mathrm{1}}\mathrm{du} \\ $$$$\mathrm{w}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{u}+\mathrm{c}\right)} \Rightarrow\mathrm{u}=−\mathrm{iln}\left(\mathrm{w}\right)−\mathrm{c}\Rightarrow\mathrm{du}=\frac{−\mathrm{idw}}{\mathrm{w}} \\ $$$$\Rightarrow\int_{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{tan}^{−} \left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{c}\right)} } ^{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{tan}^{−} \left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{c}\right)} } \frac{−\mathrm{iln}\left(\mathrm{w}\right)−\mathrm{c}}{\mathrm{w}−\mathrm{1}}.−\mathrm{i}\frac{\mathrm{dw}}{\mathrm{w}} \\ $$$$=\int\frac{−\mathrm{ln}\left(\mathrm{w}\right)+\mathrm{ic}}{\mathrm{w}\left(\mathrm{w}−\mathrm{1}\right)}=\int\frac{−\mathrm{ln}\left(\mathrm{w}\right)+\mathrm{ic}}{\mathrm{w}−\mathrm{1}}+\int\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{w}\right)}{\mathrm{w}}\mathrm{dw}−\int\frac{\mathrm{icdw}}{\mathrm{w}} \\ $$$$=−\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{tan}^{−} \left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{c}\right)} \right)+\mathrm{li}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{tan}^{−\mathrm{2}} +\mathrm{c}\right)} \right)+\mathrm{iclog}\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{tan}^{−} \left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{c}\right)} }{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{tan}^{−} \left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{c}\right)} }\right)+\mathrm{log}\left(\frac{\mathrm{itan}^{−} \left(\mathrm{3}\right)+\mathrm{ic}}{\mathrm{itan}^{−} \left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{ic}}\right)−\mathrm{ic}\left(\mathrm{itan}^{−} \left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{itan}^{−} \left(\mathrm{2}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{put}\:\mathrm{this}\:\mathrm{for}\:\mathrm{c}=\mathrm{i}\frac{\pi}{\mathrm{4}},\frac{−\mathrm{3i}\pi}{\mathrm{4}},\frac{−\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}},\frac{\mathrm{3i}\pi}{\mathrm{4}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Commented by TawaTawa last updated on 31/Oct/19
$$\mathrm{Wow},\:\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}.\:\:\mathrm{I}\:\mathrm{appreciate}\:\mathrm{your}\:\mathrm{time}\:\mathrm{sir} \\ $$
Commented by mind is power last updated on 31/Oct/19
$$\mathrm{most}\:\mathrm{Welcom} \\ $$