Question Number 135486 by EDWIN88 last updated on 13/Mar/21
$$\frac{\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}+\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}{\:\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}−\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}\:=\:\frac{\mathrm{3}}{\:\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{2}}}\: \\ $$
Commented by benjo_mathlover last updated on 13/Mar/21
$${wrong} \\ $$$$ \\ $$
Commented by benjo_mathlover last updated on 13/Mar/21
$$\frac{\sqrt{\mathrm{2}.\mathrm{1}+\mathrm{1}}\:+\mathrm{0}}{\:\sqrt{\mathrm{2}.\mathrm{1}+\mathrm{1}}\:−\mathrm{0}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}\:=\:\mathrm{1}\left({LHS}\right) \\ $$$${RHS}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{3}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:=\:\sqrt{\mathrm{3}}\: \\ $$$${how}\:\sqrt{\mathrm{3}}\:=\:\mathrm{1}? \\ $$
Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 13/Mar/21
$${Oopps}\:!\:{Sorry} \\ $$
Answered by benjo_mathlover last updated on 13/Mar/21
Answered by mr W last updated on 13/Mar/21
$${x}\geqslant\mathrm{1} \\ $$$$\frac{\left(\sqrt{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}+\sqrt{{x}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{2}} }{{x}+\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{3}}{\:\sqrt{{x}+\mathrm{2}}} \\ $$$$\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}+{x}−\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{1}\right)}=\mathrm{3}\sqrt{{x}+\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{2}\sqrt{\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{1}\right)}=\mathrm{3}\left(\sqrt{{x}+\mathrm{2}}−{x}\right) \\ $$$$\mathrm{4}\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{9}\left({x}+\mathrm{2}+{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}\sqrt{{x}+\mathrm{2}}\right) \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{13}{x}+\mathrm{22}=\mathrm{18}{x}\sqrt{{x}+\mathrm{2}} \\ $$$${x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{298}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{435}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{572}{x}+\mathrm{484}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({x}+\mathrm{2}\right)\left({x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{200}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{165}{x}+\mathrm{242}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{300}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{165}{x}+\mathrm{242}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{x}\approx\mathrm{1}.\mathrm{2175} \\ $$
Commented by MJS_new last updated on 13/Mar/21
$$\mathrm{you}\:\mathrm{read}\:\mathrm{my}\:\mathrm{mind}\:\mathrm{or}\:\mathrm{I}\:\mathrm{read}\:\mathrm{yours}?\:\mathrm{anyway} \\ $$$$\mathrm{you}\:\mathrm{type}\:\mathrm{faster}\:\mathrm{than}\:\mathrm{me}… \\ $$
Commented by mr W last updated on 13/Mar/21
$$\left.{haha},\:{it}'{s}\:{telepathy}\::\right) \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 13/Mar/21
$$\frac{\left(\sqrt{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}+\sqrt{{x}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{2}} }{{x}+\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{3}\sqrt{{x}+\mathrm{2}}}{{x}+\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}\sqrt{\left({x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)}=\mathrm{3}\sqrt{{x}+\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{3}{x}=\mathrm{3}\sqrt{{x}+\mathrm{2}}−\mathrm{2}\sqrt{\left({x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{9}{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{9}\left({x}+\mathrm{2}\right)+\mathrm{4}\left({x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{12}\sqrt{\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{14}+\mathrm{5}{x}−{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{12}\sqrt{\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{x}−\mathrm{14}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{144}\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$${x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{298}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{435}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{572}{x}+\mathrm{484}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({x}+\mathrm{2}\right)\left({x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{300}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{165}{x}+\mathrm{242}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${x}=−\mathrm{2}\:\mathrm{impossible} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{solutions}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{3}^{\mathrm{rd}} \:\mathrm{degree}\:\mathrm{only}\:\mathrm{one} \\ $$$$\mathrm{solves}\:\mathrm{the}\:\mathrm{given}\:\mathrm{equation}: \\ $$$${x}\approx\mathrm{1}.\mathrm{21750059} \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 13/Mar/21
$$\frac{\sqrt{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}}{\:\sqrt{{x}−\mathrm{1}}}=\frac{\mathrm{3}+\sqrt{{x}+\mathrm{2}}}{\mathrm{3}−\sqrt{{x}+\mathrm{2}}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\sqrt{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}}{\:\sqrt{{x}−\mathrm{1}}}=\frac{\left(\mathrm{3}+\sqrt{{x}+\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{3}−\sqrt{{x}+\mathrm{2}}}\Rightarrow\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}=\frac{\left(\mathrm{3}+\sqrt{{x}+\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{3}−\sqrt{{x}+\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{3}{x}}{{x}+\mathrm{2}}=\frac{\left(\mathrm{3}+\sqrt{{x}+\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{3}−\sqrt{{x}+\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{3}+\sqrt{{x}+\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{3}−\sqrt{{x}+\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{3}{x}}{{x}+\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{9}+{x}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{12}\sqrt{{x}+\mathrm{2}}}\Rightarrow\frac{\mathrm{18}{x}}{\:\sqrt{{x}+\mathrm{2}}}=\mathrm{11}+{x}\Rightarrow\frac{\mathrm{324}{x}^{\mathrm{2}} }{{x}+\mathrm{2}}=\mathrm{121}+{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{22}{x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{324}{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{121}{x}+{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{22}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{242}+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{44}{x} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{300}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{165}{x}+\mathrm{242}=\mathrm{0} \\ $$$${Which}\:{gives}\:{x}\sim\mathrm{1}.\mathrm{2175}\:\:\: \\ $$