Question Number 10575 by ridwan balatif last updated on 19/Feb/17
$$\mathrm{3}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{8}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{16}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{32}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{64}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{128}} +\mathrm{1}\right)=…? \\ $$
Commented by FilupS last updated on 19/Feb/17
$$\mathrm{3}=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$${S}=\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{8}} {\prod}}\left(\mathrm{2}^{\left(\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \right)} +\mathrm{1}\right) \\ $$
Answered by prakash jain last updated on 19/Feb/17
$$\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{8}} +\mathrm{1}\right)….\left(\mathrm{2}^{\mathrm{128}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{8}} +\mathrm{1}\right)…\left(\mathrm{2}^{\mathrm{128}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{8}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{8}} +\mathrm{1}\right)…\left(\mathrm{2}^{\mathrm{128}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$… \\ $$$$=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{128}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{128}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\mathrm{2}^{\mathrm{256}} −\mathrm{1} \\ $$
Commented by FilupS last updated on 19/Feb/17
$$\mathrm{I}\:\mathrm{don}'\mathrm{t}\:\mathrm{understand}\:\mathrm{this} \\ $$$$\mathrm{can}\:\mathrm{you}\:\mathrm{please}\:\mathrm{explain}? \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 19/Feb/17
$${I}\:{just}\:{make}\:{the}\:{working}\:{of}\:{jain} \\ $$$${a}\:{little}\:{bit}\:{easier}\:{to}\:{understand}: \\ $$$${A}=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{8}} +\mathrm{1}\right)….\left(\mathrm{2}^{\mathrm{128}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right){A}=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{8}} +\mathrm{1}\right)….\left(\mathrm{2}^{\mathrm{128}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right){A}=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{8}} +\mathrm{1}\right)….\left(\mathrm{2}^{\mathrm{128}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right){A}=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{8}} +\mathrm{1}\right)….\left(\mathrm{2}^{\mathrm{128}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right){A}=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{8}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{8}} +\mathrm{1}\right)….\left(\mathrm{2}^{\mathrm{128}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$…… \\ $$$$\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right){A}=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{128}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{128}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right){A}=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{256}} −\mathrm{1}\right) \\ $$$${A}=\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{256}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{1}} −\mathrm{1}}=\mathrm{2}^{\mathrm{256}} −\mathrm{1} \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 19/Feb/17
$${see}\:{also}\:{Q}#\mathrm{10005} \\ $$
Commented by sandy_suhendra last updated on 19/Feb/17
$$\mathrm{3}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)=\mathrm{15}=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{2}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{8}} −\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\:\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)=\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \:\:\: \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{so}\:\mathrm{on} \\ $$