Menu Close

5-2cos-2x-4-2sin-2x-dx-

Tinku Tara 0 Comments
Pin




Question Number 137285 by bemath last updated on 31/Mar/21
∫ ((5+2cos 2x)/(4+2sin 2x)) dx
$$\int\:\frac{\mathrm{5}+\mathrm{2cos}\:\mathrm{2x}}{\mathrm{4}+\mathrm{2sin}\:\mathrm{2x}}\:\mathrm{dx}\: \\ $$
Answered by EDWIN88 last updated on 31/Mar/21
E=∫ ((2cos 2x)/(4+2sin 2x)) dx + ∫ (5/(4+2sin 2x)) dx E = (1/2)∫ ((d(4+2sin 2x))/(4+2sin 2x)) + ∫ (5/(4+2sin 2x)) dx E=(1/2)ln ∣4+2sin 2x ∣ + ∫ (5/(4+2sin 2x)) dx
$$\mathrm{E}=\int\:\frac{\mathrm{2cos}\:\mathrm{2x}}{\mathrm{4}+\mathrm{2sin}\:\mathrm{2x}}\:\mathrm{dx}\:+\:\int\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}+\mathrm{2sin}\:\mathrm{2x}}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{E}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{4}+\mathrm{2sin}\:\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{4}+\mathrm{2sin}\:\mathrm{2x}}\:+\:\int\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}+\mathrm{2sin}\:\mathrm{2x}}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{E}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{4}+\mathrm{2sin}\:\mathrm{2x}\:\mid\:+\:\int\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}+\mathrm{2sin}\:\mathrm{2x}}\:\mathrm{dx}\: \\ $$
Commented by Ar Brandon last updated on 31/Mar/21
I=∫(5/(4+2sin2x))dx=(5/4)∫(dx/(1+sinxcosx)) =(5/4)∫((sec^2 x)/(sec^2 x+tanx))dx=(5/4)∫(dt/(t^2 +t+1)) =(5/4)∙(2/( (√3)))arctan(((2t+1)/( (√3))))=((5(√3))/6)arctan(((2tanx+1)/( (√3))))+C
$$\mathcal{I}=\int\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}+\mathrm{2sin2x}}\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}\int\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{sinxcosx}} \\ $$$$\:\:\:=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}\int\frac{\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{tanx}}\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}\int\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}+\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}\centerdot\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{2t}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)=\frac{\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{6}}\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{2tanx}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)+\mathcal{C} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 31/Mar/21
I=∫ ((2cos(2x)+5)/(2sin(2x)+4))dx ⇒I=_(2x=t) (1/2)∫ ((2cost+5)/(2sint +4))dt =_(tan((t/2))=y) (1/2)∫ ((2((1−y^2 )/(1+y^2 ))+5)/(((4y)/(y^2 +1)) +4))((2dy)/(1+y^2 )) =∫ ((2−2y^2 +5+5y^2 )/(4y+4y^2 +4))(dy/(1+y^2 )) =(1/4)∫ ((3y^2 +7)/((y^2 +1)(y^2 +y+1)))dy let decompose F(y)=((3y^2 +7)/((y^2 +1)(y^2 +y+1))) F(y)=((ay+b)/(y^2 +1)) +((my+n)/(y^2 +y+1)) ⇒(ay+b)(y^2 +y+1)+(my+n)(y^2 +1)=3y^2 +7 ⇒ay^3 +ay^2 +ay +by^2 +by +b+my^3 +my +ny^2 +n =3y^2 +7 ⇒ (a+m)y^3 +(a+b+n)y^2 +(a+b)y +b+n =3y^2 +7 ⇒ m=−a ,b=3 ,a=−3 ,n=7−3=4 ⇒ F(y)=((−3y+3)/(y^2 +1)) +((3y+4)/(y^2 +y+1)) ⇒ ∫ F(y)dy =∫((−3y)/(y^2 +1))dy +3∫ (dy/(y^2 +1)) +3∫ ((y+(4/3))/(y^2 +y+1))dy =−(3/2)log(y^2 +1)+3arctany +(3/2)∫ ((2y+1+(8/3)−1)/(y^2 +y+1))dy =−(3/2)log(y^2 +1)+3arctany +(3/2)log(y^2 +y+1)+(5/2)∫ (dy/(y^2 +y+1)) ∫ (dy/(y^2 +y+1))=∫ (dy/((y+(1/2))^2 +(3/4)))=_(y+(1/2)=((√3)/2)z) ((√3)/2) .(4/3) ∫ (dz/(z^2 +1)) =(2/( (√3)))arctan(((2y+1)/( (√3)))) ⇒ I =(1/4){−(3/2)log(y^2 +1)+3arctany +(3/2)log(y^2 +y+1)+(5/( (√3)))arctan(((2y+1)/( (√3))))} +C but y=tanx ⇒ I =−(3/8)log(1+tan^2 x)+(3/4)x +(3/2)log(1+tanx +tan^2 x) +(5/( (√3)))arctan(((2tanx+1)/( (√3)))) +C
$$\mathrm{I}=\int\:\frac{\mathrm{2cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{5}}{\mathrm{2sin}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{4}}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{I}=_{\mathrm{2x}=\mathrm{t}} \:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\frac{\mathrm{2cost}+\mathrm{5}}{\mathrm{2sint}\:+\mathrm{4}}\mathrm{dt} \\ $$$$=_{\mathrm{tan}\left(\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{y}} \:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\:\frac{\mathrm{2}\frac{\mathrm{1}−\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{5}}{\frac{\mathrm{4y}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:+\mathrm{4}}\frac{\mathrm{2dy}}{\mathrm{1}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }\:=\int\:\:\:\frac{\mathrm{2}−\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{5}+\mathrm{5y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4y}+\mathrm{4y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{1}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\:\frac{\mathrm{3y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7}}{\left(\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dy}\:\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{y}\right)=\frac{\mathrm{3y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{7}}{\left(\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{y}\right)=\frac{\mathrm{ay}+\mathrm{b}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{my}+\mathrm{n}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{y}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\left(\mathrm{ay}+\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{my}+\mathrm{n}\right)\left(\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)=\mathrm{3y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{7} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{ay}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{ay}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ay}\:+\mathrm{by}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{by}\:+\mathrm{b}+\mathrm{my}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{my}\:+\mathrm{ny}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}\:=\mathrm{3y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{7}\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{a}+\mathrm{m}\right)\mathrm{y}^{\mathrm{3}} \:+\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{n}\right)\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\mathrm{y}\:+\mathrm{b}+\mathrm{n}\:=\mathrm{3y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{7}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{m}=−\mathrm{a}\:,\mathrm{b}=\mathrm{3}\:\:,\mathrm{a}=−\mathrm{3}\:\:\:,\mathrm{n}=\mathrm{7}−\mathrm{3}=\mathrm{4}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{y}\right)=\frac{−\mathrm{3y}+\mathrm{3}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{3y}+\mathrm{4}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{y}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\int\:\mathrm{F}\left(\mathrm{y}\right)\mathrm{dy}\:=\int\frac{−\mathrm{3y}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{dy}\:+\mathrm{3}\int\:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:+\mathrm{3}\int\:\:\frac{\mathrm{y}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{y}+\mathrm{1}}\mathrm{dy} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\left(\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)+\mathrm{3arctany}\:\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\int\:\:\frac{\mathrm{2y}+\mathrm{1}+\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}−\mathrm{1}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{y}+\mathrm{1}}\mathrm{dy} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\left(\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)+\mathrm{3arctany}\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\left(\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\int\:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{y}+\mathrm{1}} \\ $$$$\int\:\:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}+\mathrm{1}}=\int\:\:\frac{\mathrm{dy}}{\left(\mathrm{y}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}=_{\mathrm{y}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{z}} \frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:.\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\:\:\int\:\:\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{2y}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left\{−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\left(\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)+\mathrm{3arctany}\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\left(\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{5}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{2y}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\right\}\:+\mathrm{C} \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{y}=\mathrm{tanx}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\mathrm{x}\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{tanx}\:+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right) \\ $$$$+\frac{\mathrm{5}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{2tanx}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\:+\mathrm{C} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 31/Mar/21
sorryI =−(3/8)log(1+tan^2 x)+(3/4)x +(3/8)log(1+tanx +tan^2 x) +(5/(4(√3)))arctan(((2tanx+1)/( (√3)))) +C
$$\mathrm{sorryI}\:=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\mathrm{x}\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{tanx}\:+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right) \\ $$$$+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{2tanx}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\:+\mathrm{C} \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 01/Apr/21
∫((5+2cos 2x)/(4+2sin 2x))dx= [t=tan x → dx=(dt/(t^2 +1))] =∫((3t^2 +7)/(4(t^2 +1)(t^2 +t+1)))dt= =−∫(t/(t^2 +1))dt+∫((2t+1)/(2(t^2 +t+1)))dt+∫((5dt)/(4(t^2 +t+1)))= =−(1/2)ln (t^2 +1) +(1/2)ln (t^2 +t+1) +((5(√3))/6)arctan ((2t+1)/( (√3))) = =(1/2)ln ((t^2 +t+1)/(t^2 +1)) +((5(√3))/6)arctan ((2t+1)/( (√3))) = =(1/2)ln (2+sin 2x) +((5(√3))/6)arctan ((1+2tan x)/( (√3))) +C
$$\int\frac{\mathrm{5}+\mathrm{2cos}\:\mathrm{2}{x}}{\mathrm{4}+\mathrm{2sin}\:\mathrm{2}{x}}{dx}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{t}=\mathrm{tan}\:{x}\:\rightarrow\:{dx}=\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right] \\ $$$$=\int\frac{\mathrm{3}{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7}}{\mathrm{4}\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left({t}^{\mathrm{2}} +{t}+\mathrm{1}\right)}{dt}= \\ $$$$=−\int\frac{{t}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{dt}+\int\frac{\mathrm{2}{t}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left({t}^{\mathrm{2}} +{t}+\mathrm{1}\right)}{dt}+\int\frac{\mathrm{5}{dt}}{\mathrm{4}\left({t}^{\mathrm{2}} +{t}+\mathrm{1}\right)}= \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\left({t}^{\mathrm{2}} +{t}+\mathrm{1}\right)\:+\frac{\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{6}}\mathrm{arctan}\:\frac{\mathrm{2}{t}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\frac{{t}^{\mathrm{2}} +{t}+\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{6}}\mathrm{arctan}\:\frac{\mathrm{2}{t}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{2}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}\right)\:+\frac{\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{6}}\mathrm{arctan}\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2tan}\:{x}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:+{C} \\ $$

Pin

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *