Question Number 70783 by naka3546 last updated on 08/Oct/19
$$\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}\centerdot\mathrm{9}}\:+\:\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{16}\centerdot\mathrm{25}}\right)\:+\:\mathrm{3}\left(\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{36}\centerdot\mathrm{49}}\right)\:+\:\mathrm{4}\left(\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{64}\centerdot\mathrm{81}}\right)\:+\:\mathrm{5}\left(\frac{\mathrm{21}}{\mathrm{100}\centerdot\mathrm{121}}\right)\:+\:\ldots\:=\:\:? \\ $$
Commented by tw000001 last updated on 08/Oct/19
$$\mathrm{Well},\mathrm{this}\:\mathrm{one}\:\mathrm{is}\:\mathrm{unconverge}\:\mathrm{series}\:\mathrm{because} \\ $$$$\mathrm{difference}\:\mathrm{and}\:\mathrm{ratio}\:\mathrm{are}\:\mathrm{different}. \\ $$$$\mathrm{But}\:\mathrm{the}\:\mathrm{answer}\:\mathrm{should}\:\mathrm{be}\:\mathrm{approximately} \\ $$$$\mathrm{on}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\:\mathrm{with}\:\mathrm{calculator}. \\ $$
Commented by tw000001 last updated on 08/Oct/19
$$\mathrm{It}\:\mathrm{can}\:\mathrm{transform}\:\mathrm{to}\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} +{n}}{\mathrm{16}{n}^{\mathrm{4}} +\mathrm{16}{n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} }. \\ $$
Commented by naka3546 last updated on 08/Oct/19
$${any}\:\:{answer}\:\:{that}'{s}\:\:{real}\:\:{number}\:\:{but}\:\:{not}\:\:{in}\:\:{decimal}\:\:{number}\:\:{form}?\:\:{may}\:\:{be}\:\:{irrational}\:\:{number}\:\:{form}\:? \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 08/Oct/19
$$\frac{\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} +{n}}{\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}{n}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{2}} }+..\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}\right)= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+..\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{ln2}\right) \\ $$$$\mathrm{sum}=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{16}}−\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}}{\mathrm{2}} \\ $$
Answered by mind is power last updated on 08/Oct/19
$$=\underset{{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{{n}\left(\mathrm{4}{n}+\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{2}{n}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${f}\left({x}\right)=\frac{{x}\left(\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{{b}}{\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{{c}}{{x}}+\frac{{d}}{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}} \\ $$$${b}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}, \\ $$$$\mathrm{2}{c}+{d}=\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{18}}+{c}+\frac{{d}}{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{36}} \\ $$$$\Rightarrow{d}+\mathrm{3}{c}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$${c}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}},{d}=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\frac{{x}\left(\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}{x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\sum_{{n}\geqslant\mathrm{1}} {f}\left({n}\right)=\Sigma\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\Sigma\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}{n}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}{n}+\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Sigma\left(\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}\right)^{\mathrm{2}} }\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Sigma\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Sigma\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\Sigma\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Sigma\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\zeta\left(\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Sigma\frac{{x}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{2}{n}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)}\mid{x}=\mathrm{1} \\ $$$${f}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\zeta\left(\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Sigma\frac{{x}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{2}{n}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$${f}'\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Sigma\frac{{x}^{\mathrm{2}{n}} }{\mathrm{2}{n}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\sum_{{n}\geqslant\mathrm{1}} \frac{\left({x}^{\mathrm{2}} \right)^{{n}} }{{n}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{ln}\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$${f}\left({x}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int{ln}\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right){dx} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{xln}\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\frac{−\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$$=−\frac{{xln}\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$$=\frac{−{xln}\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{4}}+\frac{{x}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{dx}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)\left(\mathrm{1}+{x}\right)} \\ $$$$=\frac{−{xln}\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{4}}+\frac{{x}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{x}}{dx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}{dx} \\ $$$$=\frac{−{xln}\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{4}}+\frac{{x}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{ln}\left(\frac{\mathrm{1}−{x}}{\mathrm{1}+{x}}\right)+{c} \\ $$$${f}\left(\mathrm{0}\right)=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\zeta\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$${f}\left({x}\right)=\frac{−{xln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)−{xln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)+\mathrm{2}{x}+{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)−{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{3}\zeta\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{8}} \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{1}−{x}\right){ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)−\left(\mathrm{1}+{x}\right){ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)+\mathrm{2}{x}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{3}\zeta\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{8}} \\ $$$${limx}\rightarrow\mathrm{1}{f}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{2}−\mathrm{2}{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{3}\zeta\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{8}}=\sum_{{n}\geqslant\mathrm{1}} {f}\left({n}\right) \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\underset{{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{{n}\left(\mathrm{4}{n}+\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{2}{n}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{2}−\mathrm{2}{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}.\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}} \\ $$$$ \\ $$