Question Number 76034 by hmamarques1994@gmail.com last updated on 22/Dec/19
$$\: \\ $$$$\:\mathrm{53}^{\boldsymbol{\mathrm{log}}_{\boldsymbol{\mathrm{x}}} \left(\mathrm{7}\right)} \:=\:\sqrt{\boldsymbol{\mathrm{x}}} \\ $$$$\: \\ $$$$\:\boldsymbol{\mathrm{x}}\:=\:? \\ $$$$\: \\ $$
Answered by MJS last updated on 22/Dec/19
$$\mathrm{53}^{\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{7}}{\mathrm{ln}\:{x}}} =\sqrt{{x}} \\ $$$$\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{7}}{\mathrm{ln}\:{x}}\mathrm{ln}\:\mathrm{53}\:=\mathrm{ln}\:\sqrt{{x}} \\ $$$$\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{7}\:\mathrm{ln}\:\mathrm{53}}{\mathrm{ln}\:{x}}=\frac{\mathrm{ln}\:{x}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{ln}\:{x}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{2ln}\:\mathrm{7}\:\mathrm{ln}\:\mathrm{53} \\ $$$$\mathrm{ln}\:{x}\:=\pm\sqrt{\mathrm{2}\:\mathrm{ln}\:\mathrm{7}\:\mathrm{ln}\:\mathrm{53}} \\ $$$${x}=\mathrm{e}^{\pm\sqrt{\mathrm{2}\:\mathrm{ln}\:\mathrm{7}\:\mathrm{ln}\:\mathrm{53}}} \\ $$$${x}\approx.\mathrm{0196268}\vee{x}\approx\mathrm{50}.\mathrm{9508} \\ $$
Commented by David Danile last updated on 04/Jan/20
$${can}'{t}\:{we}\:{solve}\:{this}\:{using}\:{the}\:{fact}\:{tbat}\: \\ $$$$ \\ $$$${b}^{{log}_{{x}} {a}^{{c}} } =\:{c}\:\:? \\ $$