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6-dx-x-2-3x-2-7-4dx-x-2-2x-4-8-3-2xdx-x-2-64-9-3x-1-x-3-5x-2-6x-dx-10-4-3x-x-3-2x-dx-11-dx-x-3-2x-x-

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Question Number 142149 by cesarL last updated on 27/May/21
6. ∫(dx/(x^2 −3x+2)) 7. ∫((4dx)/(x^2 +2x+4)) 8. ∫((3−2xdx)/(x^2 −64)) 9. ∫((3x−1)/(x^3 +5x^2 +6x))dx 10. ∫((4−3x)/(x^3 −2x))dx 11. ∫(dx/(x^3 −2x+x))
$$\mathrm{6}.\:\int\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{7}.\:\int\frac{\mathrm{4}{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{8}.\:\int\frac{\mathrm{3}−\mathrm{2}{xdx}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{64}} \\ $$$$\mathrm{9}.\:\int\frac{\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}{x}}{dx} \\ $$$$\mathrm{10}.\:\int\frac{\mathrm{4}−\mathrm{3}{x}}{{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}{x}}{dx} \\ $$$$\mathrm{11}.\:\int\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}{x}+{x}} \\ $$$$ \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 27/May/21
1) I=∫ (dx/(x^2 −3x+2)) x^2 −3x+2=0→Δ=9−8=1 ⇒x_1 =((3+1)/2)=2 and x_2 =((3−1)/2)=1 ⇒ I=∫ (dx/((x−2)(x−1)))=∫ ((1/(x−2))−(1/(x−1)))dx=log∣((x−2)/(x−1))∣ +C
$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{I}=\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{2}=\mathrm{0}\rightarrow\Delta=\mathrm{9}−\mathrm{8}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{3}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\mathrm{2}\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{3}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}=\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}=\int\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{log}\mid\frac{\mathrm{x}−\mathrm{2}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\mid\:+\mathrm{C} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 27/May/21
2) J=∫ ((4dx)/(x^2 +2x+4)) ⇒J=∫ ((4dx)/((x+1)^2 +3)) =_(x+1=(√3)y) ∫ ((4(√3)dy)/(3(y^2 +1))) =(4/( (√3))) arctany +C =(4/( (√3)))arctan(((x+1)/( (√3)))) +C
$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{J}=\int\:\frac{\mathrm{4dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2x}+\mathrm{4}}\:\Rightarrow\mathrm{J}=\int\:\frac{\mathrm{4dx}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}} \\ $$$$=_{\mathrm{x}+\mathrm{1}=\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{y}} \:\:\int\:\:\frac{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{dy}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\:=\frac{\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:\mathrm{arctany}\:+\mathrm{C} \\ $$$$=\frac{\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\:+\mathrm{C} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 27/May/21
3) I=∫ ((−2x+3)/(x^2 −64))dx F(x)=((−2x+3)/(x^2 −64))=((−2x+3)/((x−8)(x+8)))=(a/(x−8))+(b/(x+8)) a=((−16+3)/(16)) =−((13)/(16)) b=((16+3)/(−16)) =−((19)/(16)) ⇒F(x)=−((13)/(16(x−8)))−((19)/(16(x+8))) ⇒ I=−((13)/(16))log∣x−8∣−((19)/(16))log∣x+8∣ +C
$$\left.\mathrm{3}\right)\:\mathrm{I}=\int\:\frac{−\mathrm{2x}+\mathrm{3}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{64}}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{−\mathrm{2x}+\mathrm{3}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{64}}=\frac{−\mathrm{2x}+\mathrm{3}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{8}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{8}\right)}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}−\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}+\mathrm{8}} \\ $$$$\mathrm{a}=\frac{−\mathrm{16}+\mathrm{3}}{\mathrm{16}}\:=−\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{16}} \\ $$$$\mathrm{b}=\frac{\mathrm{16}+\mathrm{3}}{−\mathrm{16}}\:=−\frac{\mathrm{19}}{\mathrm{16}}\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=−\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{16}\left(\mathrm{x}−\mathrm{8}\right)}−\frac{\mathrm{19}}{\mathrm{16}\left(\mathrm{x}+\mathrm{8}\right)}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}=−\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{16}}\mathrm{log}\mid\mathrm{x}−\mathrm{8}\mid−\frac{\mathrm{19}}{\mathrm{16}}\mathrm{log}\mid\mathrm{x}+\mathrm{8}\mid\:+\mathrm{C} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 27/May/21
5) J=∫ ((3x−1)/(x^3 +5x^2 +6x))dx F(x)=((3x−1)/(x(x^2 +5x+6))) x^2 +5x+6=0→Δ=25−24=1 ⇒x_1 =((−5+1)/2)=−2 x_2 =((−5−1)/2)=−3 ⇒F(x)=((3x−1)/(x(x+2)(x+3)))=(a/x)+(b/(x+2))+(c/(x+3)) a=−(1/6),b=((−7)/((−2)(1)))=(7/2),c=((−10)/((−3)(−1)))=−((10)/(3 )) ⇒ F(x)=−(1/(6x)) +(7/(2(x+2)))−((10)/(3(x+3))) ⇒J=∫ F(x)dx =−(1/6)log∣x∣+(7/2)log∣x+2∣−((10)/3)log∣x+3∣ +C
$$\left.\mathrm{5}\right)\:\mathrm{J}=\int\:\frac{\mathrm{3x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{5x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6x}}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{3x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{5x}+\mathrm{6}\right)} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{5x}+\mathrm{6}=\mathrm{0}\rightarrow\Delta=\mathrm{25}−\mathrm{24}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{5}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{5}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=−\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{3x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{x}+\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{a}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}},\mathrm{b}=\frac{−\mathrm{7}}{\left(−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}},\mathrm{c}=\frac{−\mathrm{10}}{\left(−\mathrm{3}\right)\left(−\mathrm{1}\right)}=−\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{3}\:}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6x}}\:+\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)}−\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)}\:\Rightarrow\mathrm{J}=\int\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{log}\mid\mathrm{x}\mid+\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid−\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{3}}\mathrm{log}\mid\mathrm{x}+\mathrm{3}\mid\:+\mathrm{C} \\ $$
Answered by Panacea last updated on 27/May/21
Q11. ∫(dx/(x^3 −2x+x)) = ∫(dx/(x(x+1)(x−1))) ∫(((−1)/x)+((1/2)/(x+1))+((1/2)/(x−1)))dx ln(1/x)+(1/2)ln(x^2 −1) ln((((√(x^2 −1))))/x)
$${Q}\mathrm{11}. \\ $$$$\int\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}{x}+{x}}\:=\:\int\frac{{dx}}{{x}\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{1}\right)}\:\: \\ $$$$\int\left(\frac{−\mathrm{1}}{{x}}+\frac{\mathrm{1}/\mathrm{2}}{{x}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}/\mathrm{2}}{{x}−\mathrm{1}}\right){dx} \\ $$$${ln}\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right) \\ $$$${ln}\frac{\left(\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\right)}{{x}} \\ $$

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