Question Number 8281 by tawakalitu last updated on 06/Oct/16
$$\int\frac{\mathrm{6}\:\mathrm{sinx}\:\mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}\:+\:\mathrm{cosx}}\:\mathrm{dx} \\ $$
Answered by Yozzias last updated on 06/Oct/16
$$\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{sinx}+\mathrm{cosx}}=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}+\mathrm{cosx}} \\ $$$$\therefore\:\mathrm{I}=\int\frac{\mathrm{sinxcosx}}{\mathrm{sinx}+\mathrm{cosx}}\mathrm{dx}=\int\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}+\mathrm{cosx}}\right)\mathrm{cosxdx} \\ $$$$=\int\left(\mathrm{cosx}−\frac{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\mathrm{sinx}+\mathrm{cosx}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\int\left(\mathrm{cosx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos2x}\right)\frac{\mathrm{cosx}−\mathrm{sinx}}{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\int\left(\mathrm{cosx}−\frac{\mathrm{cosx}−\mathrm{sinx}}{\mathrm{2cos2x}}−\frac{\mathrm{cos2x}\left(\mathrm{cosx}−\mathrm{sinx}\right)}{\mathrm{2cos2x}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\int\left(\mathrm{cosx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{cosx}+\mathrm{sinx}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sinx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cosx}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{I}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\left(\mathrm{sinx}+\mathrm{cosx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cosx}+\mathrm{sinx}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\because\:\mathrm{cosx}+\mathrm{sinx}=\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$\mathrm{I}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\left(\mathrm{sinx}+\mathrm{cosx}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{I}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\left(\mathrm{sinx}+\mathrm{cosx}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{sec}\left(\mathrm{x}−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{I}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[−\mathrm{cosx}+\mathrm{sinx}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{sec}\left(\mathrm{x}−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)+\mathrm{tan}\left(\mathrm{x}−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)\mid\right]+\mathrm{c} \\ $$$$\therefore\:\int\frac{\mathrm{6sinxcosx}}{\mathrm{sinx}+\mathrm{cosx}}\mathrm{dx}=\mathrm{3}\left(\mathrm{sinx}−\mathrm{cosx}−\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{sec}\left(\mathrm{x}−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)+\mathrm{tan}\left(\mathrm{x}−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)\mid\right)+\mathrm{c} \\ $$$$ \\ $$
Commented by tawakalitu last updated on 06/Oct/16
$$\mathrm{Thanks}\:\mathrm{so}\:\mathrm{much}\: \\ $$