Question Number 8526 by suci last updated on 14/Oct/16
$$\sqrt{\mathrm{8}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}\:=\:…? \\ $$
Answered by ridwan balatif last updated on 14/Oct/16
$$\sqrt{\mathrm{8}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}=\sqrt{\mathrm{k}}+\sqrt{\mathrm{p}} \\ $$$$\left(\sqrt{\mathrm{8}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}\right)^{\mathrm{2}} =\left(\sqrt{\mathrm{k}}+\sqrt{\mathrm{p}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{8}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}=\left(\mathrm{k}+\mathrm{p}\right)+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{kp}} \\ $$$$\mathrm{k}+\mathrm{p}=\mathrm{8}\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{kp}=\mathrm{5}…\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{k}=\mathrm{8}−\mathrm{p}…\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\rightarrow\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{8}−\mathrm{p}\right)×\mathrm{p}=\mathrm{5} \\ $$$$−\mathrm{p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8p}=\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8p}+\mathrm{5}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{D}=\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4ac} \\ $$$$\:\:\:\:=\mathrm{64}−\mathrm{4}.\mathrm{1}.\mathrm{5} \\ $$$$\:\:\:\:=\mathrm{44} \\ $$$$\mathrm{p}_{\mathrm{1},\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{b}\pm\sqrt{\mathrm{D}}}{\mathrm{2a}} \\ $$$$\mathrm{p}_{\mathrm{1},\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{8}\pm\sqrt{\mathrm{44}}}{\mathrm{2}.\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{p}_{\mathrm{1},\mathrm{2}} =\mathrm{4}\pm\sqrt{\mathrm{11}} \\ $$$$\mathrm{p}=\mathrm{4}+\sqrt{\mathrm{11}}\:\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{k}=\mathrm{4}−\sqrt{\mathrm{11}} \\ $$$$\mathrm{so},\:\sqrt{\mathrm{8}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}=\sqrt{\mathrm{4}+\sqrt{\mathrm{11}}}+\sqrt{\mathrm{4}−\sqrt{\mathrm{11}}} \\ $$