A-1-2-B-1-1-A-n-1-A-n-8B-n-B-n-1-A-n-7B-n-find-A-n-B-n-

Question Number 75616 by mr W last updated on 13/Dec/19

$${A}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2} \\ $$$${B}_{\mathrm{1}} =\mathrm{1} \\ $$$${A}_{{n}+\mathrm{1}} ={A}_{{n}} −\mathrm{8}{B}_{{n}} \\ $$$${B}_{{n}+\mathrm{1}} ={A}_{{n}} +\mathrm{7}{B}_{{n}} \\ $$$${find}\:{A}_{{n}} =?,\:{B}_{{n}} =? \\ $$

Commented by mind is power last updated on 13/Dec/19

$$\begin{pmatrix}{\mathrm{A}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\\{\mathrm{B}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:−\mathrm{8}}\\{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{7}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\mathrm{A}_{\mathrm{n}} }\\{\mathrm{B}_{\mathrm{n}} }\end{pmatrix} \\ $$$$\mathrm{M}=\begin{pmatrix}{\mathrm{1}\:\:\:\:−\mathrm{8}}\\{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{7}}\end{pmatrix} \\ $$$$\begin{pmatrix}{\mathrm{1}\:−\mathrm{x}\:\:\:−\mathrm{8}}\\{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{7}−\mathrm{x}}\end{pmatrix}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8x}+\mathrm{15}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{5},\mathrm{x}=\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{D}=\begin{pmatrix}{\mathrm{3}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{5}}\end{pmatrix} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{3}\Rightarrow−\mathrm{2x}−\mathrm{8y}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}=−\mathrm{4y} \\ $$$$\mathrm{U}=\left(−\mathrm{4},\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{5}\Rightarrow\mathrm{x}+\mathrm{2y}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}=−\mathrm{2y}\Rightarrow\mathrm{V}=\left(−\mathrm{2},\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{P}=\begin{pmatrix}{−\mathrm{4}\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{2}}\\{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\end{pmatrix}\:\:\: \\ $$$$\mathrm{p}^{−} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\begin{pmatrix}{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}}\\{−\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:−\mathrm{4}}\end{pmatrix} \\ $$$$\mathrm{M}=\mathrm{P}\:\:\mathrm{D}\:\:\mathrm{P}^{−} \\ $$$$\mathrm{M}^{\mathrm{n}} =\mathrm{PD}^{\mathrm{n}} \mathrm{P}^{−} \\ $$$$\begin{pmatrix}{\mathrm{A}_{\mathrm{n}} }\\{\mathrm{B}_{\mathrm{n}} }\end{pmatrix}=\mathrm{PD}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} .\mathrm{P}^{−} .\begin{pmatrix}{\mathrm{A}_{\mathrm{1}} }\\{\mathrm{B}_{\mathrm{1}} }\end{pmatrix} \\ $$$$\mathrm{PD}^{\mathrm{n}} \mathrm{P}^{−} =\mathrm{P}.\begin{pmatrix}{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} \:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{5}^{\mathrm{n}} }\end{pmatrix}.−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\begin{pmatrix}{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}}\\{−\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:−\mathrm{4}}\end{pmatrix} \\ $$$$=\begin{pmatrix}{−\mathrm{4}\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{2}}\\{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{−\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{3}^{\mathrm{n}} \:\:}\\{\frac{\mathrm{5}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}.\mathrm{5}^{\mathrm{n}} }\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{\mathrm{2}.\mathrm{3}^{\mathrm{n}} −\mathrm{5}^{\mathrm{n}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{4}.\mathrm{3}^{\mathrm{n}} −\mathrm{4}.\mathrm{5}^{\mathrm{n}} }\\{−\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{5}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{3}^{\mathrm{n}} +\mathrm{2}.\mathrm{5}^{\mathrm{n}} }\end{pmatrix} \\ $$$$\begin{pmatrix}{\mathrm{A}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\\{\mathrm{B}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{\mathrm{2}.\mathrm{3}^{\mathrm{n}} −\mathrm{5}^{\mathrm{n}} \:\:\:\:\:\:\:\mathrm{4}.\mathrm{3}^{\mathrm{n}} −\mathrm{4}.\mathrm{5}^{\mathrm{n}} }\\{−\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{5}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2}}\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{3}^{\mathrm{n}} +\mathrm{2}.\mathrm{5}^{\mathrm{n}} }\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\mathrm{2}}\\{\mathrm{1}}\end{pmatrix} \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{8}.\mathrm{3}^{\mathrm{n}} −\mathrm{6}.\mathrm{5}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{B}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =−\mathrm{2}.\mathrm{3}^{\mathrm{n}} +\mathrm{3}.\mathrm{5}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\mathrm{8}.\mathrm{3}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{6}.\mathrm{5}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{B}_{\mathrm{n}} =−\mathrm{2}.\mathrm{3}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} +\mathrm{3}.\mathrm{5}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$ \\ $$

Commented by mr W last updated on 14/Dec/19

$${thanks}\:{alot}\:{sir}! \\ $$$${i}\:{need}\:{some}\:{time}\:{to}\:{understand} \\ $$$${your}\:{solution}\:{and}\:{why}\:{you}\:{did}\:{so}. \\ $$

Commented by peter frank last updated on 14/Dec/19

$${help}\:{me}\:{Qn}\:\mathrm{75602} \\ $$

Commented by mind is power last updated on 14/Dec/19

$$\mathrm{Hello}\:\mathrm{Sir}\:\mathrm{Mr}\:\mathrm{W}\:,\:\mathrm{its}\:\mathrm{solve}\:\mathrm{system}\:\mathrm{of}\:\mathrm{series}\:\mathrm{usign}\:\mathrm{lineair}\:\mathrm{Algebre} \\ $$$$\mathrm{not}\:\mathrm{sur}\:\mathrm{in}\:\mathrm{french}\:\:\mathrm{Tap}\:\mathrm{in}\:\mathrm{google}\:\: \\ $$$$\therefore\:\mathrm{System}\:\mathrm{de}\:\mathrm{suite}\:\mathrm{numerique}\:\mathrm{et}\:\mathrm{diagonilisations}\:\mathrm{Des}\:\mathrm{matrice}\:\because \\ $$$$\mathrm{you}\:\mathrm{get}\:\mathrm{in}\:\mathrm{french}\:\mathrm{but}\:\mathrm{you}\:\mathrm{can}\:\mathrm{understand}\:\mathrm{and}\:\mathrm{my}\:\mathrm{bee}\:\mathrm{you}\:\mathrm{will} \\ $$$$\mathrm{find}\:\mathrm{after}\:\mathrm{that}\:\mathrm{in}\:\mathrm{english}\:\mathrm{sorry}\:\mathrm{my}\:\mathrm{english}\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{good} \\ $$

Commented by mr W last updated on 14/Dec/19

$$\mathbb{M}^{\mathbb{ERCI}} \:\mathbb{B}^{\mathbb{EAUCOUP}} ! \\ $$

Commented by mind is power last updated on 14/Dec/19

$$\left.\mathrm{De}\:\mathrm{Rien}\::\right) \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 15/Dec/19

$${we}\:{have}\:\:{a}_{{n}+\mathrm{1}} ={a}_{{n}} −\mathrm{8}{b}_{{n}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{b}_{{n}+\mathrm{1}} ={a}_{{n}} +\mathrm{7}{b}_{{n}} \:\:\:\Rightarrow\begin{pmatrix}{{a}_{{n}+\mathrm{1}} }\\{{b}_{{n}+\mathrm{1}} }\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{8}}\\{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{7}}\end{pmatrix}\:\begin{pmatrix}{{a}_{{n}} }\\{{b}_{{n}} }\end{pmatrix} \\ $$$$\Rightarrow\:\begin{pmatrix}{{a}_{{n}+\mathrm{1}} }\\{{b}_{{n}+\mathrm{1}} }\end{pmatrix}\:\:={A}^{{n}} \:\begin{pmatrix}{{a}_{\mathrm{1}} }\\{{b}_{\mathrm{1}} }\end{pmatrix}\:\:\:{let}\:{calculate}\:{A}^{{n}} \\ $$$${p}_{{c}} \left({x}\right)={det}\left({A}−{xI}\right)\:=\begin{vmatrix}{\mathrm{1}−{x}\:\:\:\:\:\:−\mathrm{8}}\\{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{7}−{x}}\end{vmatrix}=\left(\mathrm{1}−{x}\right)\left(\mathrm{7}−{x}\right)+\mathrm{8} \\ $$$$=\mathrm{7}−{x}−\mathrm{7}{x}+{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8}\:={x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}{x}\:+\mathrm{15} \\ $$$$\Delta^{'} =\mathrm{4}^{\mathrm{2}} −\mathrm{15}\:=\mathrm{1}\:\Rightarrow{x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{4}+\mathrm{1}\:=\mathrm{5}\:\:{and}\:{x}_{\mathrm{2}} =\mathrm{4}−\mathrm{1}\:=\mathrm{3} \\ $$$${we}\:{have}\:{x}^{{n}} ={q}\:{p}_{{c}} \left({x}\right)+{u}_{{n}} {x}\:+{v}_{{n}} \:\Rightarrow\:{A}^{{n}} ={u}_{{n}} {A}\:+{v}_{{n}} {I} \\ $$$${we}\:{have}\:\mathrm{3}^{{n}} =\:\mathrm{3}{u}_{{n}} +{v}_{{n}} \:{and}\:\mathrm{5}^{{n}} \:=\mathrm{5}{u}_{{n}} +{v}_{{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2}{u}_{{n}} =\mathrm{5}^{{n}} −\mathrm{3}^{{n}} \:\Rightarrow{u}_{{n}} =\frac{\mathrm{5}^{{n}} −\mathrm{3}^{{n}} }{\mathrm{2}}\:\:{also}\:{v}_{{n}} =\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{3}{u}_{{n}} =\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{3}×\frac{\mathrm{5}^{{n}} −\mathrm{3}^{{n}} }{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}.\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{3}.\mathrm{5}^{{n}} +\mathrm{3}.\mathrm{3}^{{n}} }{\mathrm{2}}\:=\frac{\mathrm{5}.\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{3}.\mathrm{5}^{{n}} }{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$${A}^{{n}} =\frac{\mathrm{5}^{{n}} −\mathrm{3}^{{n}} }{\mathrm{2}}\begin{pmatrix}{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{8}}\\{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{7}}\end{pmatrix}+\:\frac{\mathrm{5}.\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{3}.\mathrm{5}^{{n}} }{\mathrm{2}}\begin{pmatrix}{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\end{pmatrix} \\ $$$$=\begin{pmatrix}{\frac{\mathrm{5}^{{n}} −\mathrm{3}^{{n}} }{\mathrm{2}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{4}.\mathrm{5}^{{n}} +\mathrm{4}.\mathrm{3}^{{n}} }\\{\frac{\mathrm{5}^{{n}} −\mathrm{3}^{{n}} }{\mathrm{2}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{5}^{{n}} −\mathrm{3}^{{n}} \right)}\end{pmatrix}\:\:+\begin{pmatrix}{\frac{\mathrm{5}.\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{3}.\mathrm{5}^{{n}} }{\mathrm{2}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{5}.\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{3}.\mathrm{5}^{{n}} }{\mathrm{2}}}\end{pmatrix} \\ $$$$=\begin{pmatrix}{−\mathrm{5}^{{n}} +\mathrm{2}.\mathrm{3}^{{n}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{4}.\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{4}.\mathrm{5}^{{n}} }\\{\frac{\mathrm{5}^{{n}} −\mathrm{3}^{{n}} }{\mathrm{2}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}.\:\:\mathrm{5}^{{n}} −\mathrm{3}^{{n}} }\end{pmatrix}\:\Rightarrow \\ $$$$\begin{pmatrix}{{a}_{{n}+\mathrm{1}} }\\{{b}_{{n}+\mathrm{1}} }\end{pmatrix}\:\:={A}^{{n}} \:\begin{pmatrix}{\mathrm{2}}\\{\mathrm{1}}\end{pmatrix}\:\:\:\:{and}\:{A}^{{n}} \:{is}\:{known}\:… \\ $$

Answered by mr W last updated on 14/Dec/19

$${attempt}\:{an}\:{other}\:{way}: \\ $$$${let}\:{C}_{{n}+\mathrm{1}} ={A}_{{n}+\mathrm{1}} +{kB}_{{n}+\mathrm{1}} \:{with}\:{k}={constant} \\ $$$$\Rightarrow{C}_{{n}} ={A}_{{n}} +{kB}_{{n}} \\ $$$${if}\:{we}\:{can}\:{get}\:{C}_{{n}+\mathrm{1}} ={hC}_{{n}} \:{with}\:{h}={constant} \\ $$$${then}\:{we}\:{can}\:{solve}\:{both}\:{A}_{{n}} \:{and}\:{B}_{{n}} . \\ $$$${C}_{{n}+\mathrm{1}} ={A}_{{n}+\mathrm{1}} +{kB}_{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$${C}_{{n}+\mathrm{1}} =\left({A}_{{n}} −\mathrm{8}{B}_{{n}} \right)+{k}\left({A}_{{n}} +\mathrm{7}{B}_{{n}} \right) \\ $$$${C}_{{n}+\mathrm{1}} =\left(\mathrm{1}+{k}\right){A}_{{n}} +\left(\mathrm{7}{k}−\mathrm{8}\right){B}_{{n}} \\ $$$${C}_{{n}+\mathrm{1}} =\left(\mathrm{1}+{k}\right)\left[{A}_{{n}} +\frac{\mathrm{7}{k}−\mathrm{8}}{\mathrm{1}+{k}}{B}_{{n}} \right] \\ $$$$\equiv{C}_{{n}+\mathrm{1}} ={h}\left[{A}_{{n}} +{kB}_{{n}} \right]={hC}_{{n}} \\ $$$${i}.{e}.\: \\ $$$$\frac{\mathrm{7}{k}−\mathrm{8}}{\mathrm{1}+{k}}={k} \\ $$$$\Rightarrow{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{k}+\mathrm{8}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left({k}−\mathrm{2}\right)\left({k}−\mathrm{4}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{k}=\mathrm{2}\:{or}\:{k}=\mathrm{4} \\ $$$${h}=\mathrm{1}+{k}=\mathrm{3}\:{or}\:\mathrm{5} \\ $$$$ \\ $$$${with}\:{k}=\mathrm{2}\:{and}\:{h}=\mathrm{3}: \\ $$$${C}_{\mathrm{1}} ={A}_{\mathrm{1}} +{kB}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2}+\mathrm{2}×\mathrm{1}=\mathrm{4} \\ $$$${C}_{{n}+\mathrm{1}} ={hC}_{{n}} ={h}^{{n}} {C}_{\mathrm{1}} =\mathrm{4}×\mathrm{3}^{{n}} \\ $$$${i}.{e}.\:{A}_{{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{2}{B}_{{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{4}×\mathrm{3}^{{n}} \:\:\:…\left({i}\right) \\ $$$${with}\:{k}=\mathrm{4}\:{and}\:{h}=\mathrm{5}: \\ $$$${C}_{\mathrm{1}} ={A}_{\mathrm{1}} +{kB}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2}+\mathrm{4}×\mathrm{1}=\mathrm{6} \\ $$$${C}_{{n}+\mathrm{1}} ={hC}_{{n}} ={h}^{{n}} {C}_{\mathrm{1}} =\mathrm{6}×\mathrm{5}^{{n}} \\ $$$${i}.{e}.\:{A}_{{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{4}{B}_{{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{6}×\mathrm{5}^{{n}} \:\:\:…\left({ii}\right) \\ $$$$\left({ii}\right)−\left({i}\right): \\ $$$$\mathrm{2}{B}_{{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{6}×\mathrm{5}^{{n}} −\mathrm{4}×\mathrm{3}^{{n}} \\ $$$$\Rightarrow{B}_{{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{3}×\mathrm{5}^{{n}} −\mathrm{2}×\mathrm{3}^{{n}} \\ $$$$\left({i}\right)×\mathrm{2}−\left({ii}\right): \\ $$$${A}_{{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{2}×\mathrm{4}×\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{6}×\mathrm{5}^{{n}} \\ $$$$\Rightarrow{A}_{{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{8}×\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{6}×\mathrm{5}^{{n}} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow{A}_{{n}} =\mathrm{8}×\mathrm{3}^{{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{6}×\mathrm{5}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow{B}_{{n}} =\mathrm{3}×\mathrm{5}^{{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{2}×\mathrm{3}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$

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