Question Number 139051 by mathsuji last updated on 21/Apr/21
$${a};{b};{c}\in\mathbb{N} \\ $$$$\left({a}+{b}\right)\left({a}+\mathrm{2}{b}\right)\left({a}+\mathrm{3}{b}\right)=\mathrm{105}^{\boldsymbol{{c}}} \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 22/Apr/21
$$\left({a}+{b}\right)\left({a}+\mathrm{2}{b}\right)\left({a}+\mathrm{3}{b}\right)=\mathrm{105}^{\boldsymbol{{c}}} \\ $$$$\left({a}+{b}\right)\left({a}+\mathrm{2}{b}\right)\left({a}+\mathrm{3}{b}\right)=\mathrm{3}^{{c}} .\mathrm{5}^{{c}} .\mathrm{7}^{{c}} \\ $$$${a}+{b}=\mathrm{3}^{{c}} \wedge{a}+\mathrm{2}{b}=\mathrm{5}^{{c}} \wedge\:{a}+\mathrm{3}{b}=\mathrm{7}^{{c}} \\ $$$${If}\:{c}=\mathrm{1}: \\ $$$${a}=\mathrm{1},{b}=\mathrm{2},{c}=\mathrm{1} \\ $$$$….. \\ $$$$… \\ $$
Commented by mathsuji last updated on 22/Apr/21
$${Sir},\:{so}\:{it}\:{infinite}\:{or}\:{how}? \\ $$$${Ful}\:{solution}\:{please}\:{I}\:{didn}'{t} \\ $$$${understand}\:{Sir} \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 22/Apr/21
$${Sir}\:{it}'{s}\:{only}\:{a}\:{try}…{Not}\:{full}\:{solution}. \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 24/Apr/21
$${Is}\:{there}\:{a}\:{complete}\:{solution}\:{Sir}… \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 25/Apr/21
$${Pl}\:{see}\:{the}\:{answer}. \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 25/Apr/21
$$\left({a}+{b}\right)\left({a}+\mathrm{2}{b}\right)\left({a}+\mathrm{3}{b}\right)=\mathrm{105}^{\boldsymbol{{c}}} \\ $$$${a},{b},{c}\in\mathbb{N}\:\left({In}\:{the}\:{following}\:{by}\:\mathbb{N}\:{I}\:\right. \\ $$$$\left.{mean}\:{the}\:{set}:\:\left\{\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},…\right\}\right) \\ $$$$\left({a}+{b}\right)\left({a}+\mathrm{2}{b}\right)\left({a}+\mathrm{3}{b}\right)=\mathrm{3}^{{c}} .\mathrm{5}^{{c}} .\mathrm{7}^{{c}} \\ $$$${Case}\mathrm{1}:{a}+{b}=\mathrm{3}^{{c}} ,{a}+\mathrm{2}{b}=\mathrm{5}^{{c}} ,{a}+\mathrm{3}{b}=\mathrm{7}^{{c}} \\ $$$$\:\:{a}=\mathrm{3}^{{c}} −{b},\:\mathrm{3}^{{c}} +{b}=\mathrm{5}^{{c}} ,\mathrm{3}^{{c}} +\mathrm{2}{b}=\mathrm{7}^{{c}} \\ $$$$\:\:\:\:\:{b}=\mathrm{5}^{{c}} −\mathrm{3}^{{c}} =\left(\mathrm{1}/\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{7}^{{c}} −\mathrm{3}^{{c}} \right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{2}.\mathrm{5}^{{c}} −\mathrm{2}.\mathrm{3}^{{c}} =\mathrm{7}^{{c}} −\mathrm{3}^{{c}} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{3}^{{c}} −\mathrm{2}.\mathrm{5}^{{c}} +\mathrm{7}^{{c}} =\mathrm{0} \\ $$$${c}=\mathrm{0},\mathrm{1}\: \\ $$$$\left({a},{b}\right)=\left(\mathrm{2}.\mathrm{3}^{{c}} −\mathrm{5}^{{c}} ,\mathrm{5}^{{c}} −\mathrm{3}^{{c}} \right) \\ $$$$\left({a},{b},{c}\right)=\left(\mathrm{1},\mathrm{0},\mathrm{0}\right) \\ $$$$\left({a},{b},{c}\right)=\left(\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{1}\right) \\ $$$${Case}\mathrm{2}:{a}+{b}=\mathrm{3}^{{c}} ,{a}+\mathrm{2}{b}=\mathrm{7}^{{c}} ,{a}+\mathrm{3}{b}=\mathrm{5}^{{c}} \\ $$$${a}=\mathrm{3}^{{c}} −{b},\:\mathrm{3}^{{c}} +{b}=\mathrm{7}^{{c}} ,\mathrm{3}^{{c}} +\mathrm{2}{b}=\mathrm{5}^{{c}} \\ $$$${b}=\mathrm{7}^{{c}} −\mathrm{3}^{{c}} =\left(\mathrm{1}/\mathrm{2}\right)\left\{\mathrm{5}^{{c}} −\mathrm{3}^{{c}} \right\} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{2}.\mathrm{7}^{{c}} −\mathrm{2}.\mathrm{3}^{{c}} =\mathrm{5}^{{c}} −\mathrm{3}^{{c}} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{3}^{{c}} +\mathrm{5}^{{c}} −\mathrm{2}.\mathrm{7}^{{c}} =\mathrm{0} \\ $$$${c}=\mathrm{0} \\ $$$${b}=\mathrm{7}^{{c}} −\mathrm{3}^{{c}} =\mathrm{7}^{\mathrm{0}} −\mathrm{3}^{\mathrm{0}} =\mathrm{0} \\ $$$${a}=\mathrm{3}^{{c}} −\left(\mathrm{7}^{{c}} −\mathrm{3}^{{c}} \right)=\mathrm{2}.\mathrm{3}^{{c}} −\mathrm{7}^{{c}} =\mathrm{1} \\ $$$$\left({a},{b},{c}\right)=\left(\mathrm{1},\mathrm{0},\mathrm{0}\right) \\ $$$${Case}\mathrm{3}:{a}+{b}=\mathrm{5}^{{c}} ,{a}+\mathrm{2}{b}=\mathrm{3}^{{c}} ,{a}+\mathrm{3}{b}=\mathrm{7}^{{c}} \\ $$$${a}=\mathrm{5}^{{c}} −{b},\:\mathrm{5}^{{c}} +{b}=\mathrm{3}^{{c}} ,\mathrm{5}^{{c}} +\mathrm{2}{b}=\mathrm{7}^{{c}} \\ $$$$\:\:\:{b}=\mathrm{3}^{{c}} −\mathrm{5}^{{c}} =\left(\mathrm{1}/\mathrm{2}\right)\left\{\mathrm{7}^{{c}} −\mathrm{5}^{{c}} \right\} \\ $$$$\:{c}>\mathrm{0}\:\Rightarrow{b}<\mathrm{0} \\ $$$$\therefore\:{c}=\mathrm{0} \\ $$$${b}=\mathrm{3}^{{c}} −\mathrm{5}^{{c}} =\mathrm{3}^{\mathrm{0}} −\mathrm{5}^{\mathrm{0}} =\mathrm{0} \\ $$$${a}=\mathrm{5}^{{c}} −{b}=\mathrm{5}^{\mathrm{0}} −\mathrm{0}=\mathrm{1} \\ $$$$\left({a},{b},{c}\right)=\left(\mathrm{1},\mathrm{0},\mathrm{0}\right) \\ $$$${Case}\mathrm{4}:{a}+{b}=\mathrm{5}^{{c}} ,{a}+\mathrm{2}{b}=\mathrm{7}^{{c}} ,{a}+\mathrm{3}{b}=\mathrm{3}^{{c}} \\ $$$${a}=\mathrm{5}^{{c}} −{b},\mathrm{5}^{{c}} +{b}=\mathrm{7}^{{c}} ,\mathrm{5}^{{c}} +\mathrm{2}{b}=\mathrm{3}^{{c}} \\ $$$$\:\:\:{b}=\mathrm{7}^{{c}} −\mathrm{5}^{{c}} =\left(\mathrm{1}/\mathrm{2}\right)\left\{\mathrm{3}^{{c}} −\mathrm{5}^{{c}} \right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}.\mathrm{7}^{{c}} −\mathrm{2}.\mathrm{5}^{{c}} =\mathrm{3}^{{c}} −\mathrm{5}^{{c}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}^{{c}} +\mathrm{5}^{{c}} −\mathrm{2}.\mathrm{7}^{{c}} =\mathrm{0} \\ $$$${c}=\mathrm{0} \\ $$$${b}=\mathrm{7}^{{c}} −\mathrm{5}^{{c}} =\mathrm{7}^{\mathrm{0}} −\mathrm{5}^{\mathrm{0}} =\mathrm{0} \\ $$$${a}=\mathrm{5}^{{c}} −{b}=\mathrm{5}^{\mathrm{0}} −\mathrm{0}=\mathrm{1} \\ $$$$\left({a},{b},{c}\right)=\left(\mathrm{1},\mathrm{0},\mathrm{0}\right) \\ $$$${Case}\mathrm{5}:{a}+{b}=\mathrm{7}^{{c}} ,{a}+\mathrm{2}{b}=\mathrm{3}^{{c}} ,{a}+\mathrm{3}{b}=\mathrm{5}^{{c}} \\ $$$${a}=\mathrm{7}^{{c}} −{b},\:\mathrm{7}^{{c}} +{b}=\mathrm{3}^{{c}} ,\:\mathrm{7}^{{c}} +\mathrm{2}{b}=\mathrm{5}^{{c}} \\ $$$$\:\:\:{b}=\mathrm{3}^{{c}} −\mathrm{7}^{{c}} =\left(\mathrm{1}/\mathrm{2}\right)\left\{\mathrm{5}^{{c}} −\mathrm{7}^{{c}} \right) \\ $$$$\left({Except}\:{c}=\mathrm{0}\:{b}\:{will}\:{be}\:{negative}\right) \\ $$$$\:\:\:\:{c}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:{b}=\mathrm{3}^{{c}} −\mathrm{7}^{{c}} =\mathrm{3}^{\mathrm{0}} −\mathrm{7}^{\mathrm{0}} =\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:{a}=\mathrm{7}^{{c}} −{b}=\mathrm{7}^{\mathrm{0}} −\mathrm{0}=\mathrm{1} \\ $$$$\left({a},{b},{c}\right)=\left(\mathrm{1},\mathrm{0},\mathrm{0}\right) \\ $$$${Case}\mathrm{6}:{a}+{b}=\mathrm{7}^{{c}} ,{a}+\mathrm{2}{b}=\mathrm{5}^{{c}} ,{a}+\mathrm{3}{b}=\mathrm{3}^{{c}} \\ $$$$\:\:{a}=\mathrm{7}^{{c}} −{b}\:,\:\mathrm{7}^{{c}} +{b}=\mathrm{5}^{{c}} ,\mathrm{7}^{{c}} +\mathrm{2}{b}=\mathrm{3}^{{c}} \\ $$$$\:\:\:\:\:{b}=\mathrm{5}^{{c}} −\mathrm{7}^{{c}} =\left(\mathrm{1}/\mathrm{2}\right)\left\{\mathrm{3}^{{c}} −\mathrm{7}^{{c}} \right\} \\ $$$${c}>\mathrm{0}\Rightarrow{b}<\mathrm{0} \\ $$$$\therefore\:{c}=\mathrm{0} \\ $$$${b}=\mathrm{5}^{{c}} −\mathrm{7}^{{c}} =\mathrm{5}^{\mathrm{0}} −\mathrm{7}^{\mathrm{0}} =\mathrm{0} \\ $$$${a}=\mathrm{7}^{{c}} −{b}=\mathrm{7}^{\mathrm{0}} −\mathrm{0}=\mathrm{1} \\ $$$$\left({a},{b},{c}\right)=\left(\mathrm{1},\mathrm{0},\mathrm{0}\right) \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{In}}\:\boldsymbol{\mathrm{all}}\:\boldsymbol{\mathrm{cases}}: \\ $$$$\:\:\:\left({a},{b},{c}\right)=\left(\mathrm{1},\mathrm{0},\mathrm{0}\right)\:\boldsymbol{\mathrm{or}}\:\left({a},{b},{c}\right)=\left(\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{1}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\:\boldsymbol{{If}}\:\boldsymbol{{by}}\:\mathbb{N}\:\boldsymbol{{you}}\:\boldsymbol{{mean}}\:\left\{\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},…\right\}\:\boldsymbol{{then}} \\ $$$$\boldsymbol{{only}}\:\boldsymbol{{one}}\:\boldsymbol{{solution}}: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\left({a},{b},{c}\right)=\left(\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{1}\right) \\ $$
Commented by mathsuji last updated on 28/Apr/21
$${cool}\:{thanks}\:{sir} \\ $$