Question Number 75272 by peter frank last updated on 09/Dec/19
$$\left.{a}\right)\:{If}\:{z}=\mathrm{1}+{i}\sqrt{\mathrm{3}}\:{prove}\:{that} \\ $$$${prove}\:{that} \\ $$$${z}^{\mathrm{14}} =\mathrm{2}^{\mathrm{13}} \left(−\mathrm{1}+{i}\sqrt{\mathrm{3}}\:\right) \\ $$$$ \\ $$$$\left.{b}\right){prove}\:{that}\:{in}\:{triangle}\:{ABC} \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} −\left({b}−{c}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \frac{{A}}{\mathrm{2}}=\left({b}+{c}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \frac{{A}}{\mathrm{2}} \\ $$
Answered by mind is power last updated on 09/Dec/19
$$\mathrm{z}=\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}=\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\Rightarrow\mathrm{z}=\mathrm{2}\left(\mathrm{cos}\left(\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)+\mathrm{isin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)\right)=\mathrm{2e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \\ $$$$\mathrm{z}^{\mathrm{14}} =\mathrm{2}^{\mathrm{14}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{14}\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)=\mathrm{2}^{\mathrm{13}} .\mathrm{2}.\mathrm{e}^{\mathrm{i4}\pi+\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} =\mathrm{2}^{\mathrm{13}} .\mathrm{2}\left(\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\right)+\mathrm{isin}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\right)\right) \\ $$$$=\mathrm{2}^{\mathrm{13}} .\mathrm{2}\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{2}^{\mathrm{13}} \left(−\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{b}\right) \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{2}} =\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2cbcos}\left(\mathrm{A}\right)=\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2cb}\left(\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{2}}\right)−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{2}}\right)\right) \\ $$$$=\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{2}}\right)\right)+\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{2}}\right)\right)−\mathrm{2cb}\left(\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{2}}\right)\right) \\ $$$$=\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2cb}\right)+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2cb}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{2}}\right)+\left(\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{b}−\mathrm{c}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{2}}\right)=\left(\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$ \\ $$