Question Number 133590 by physicstutes last updated on 23/Feb/21
$$\mathrm{A}\:\mathrm{particle}\:\mathrm{performs}\:\mathrm{simple}\:\mathrm{harmonic}\:\mathrm{motion}\:\mathrm{between}\:\mathrm{two}\:\mathrm{points} \\ $$$$\mathrm{A}\:\mathrm{and}\:\mathrm{B}\:\mathrm{which}\:\mathrm{are}\:\mathrm{10}\:\mathrm{m}\:\mathrm{apart}\:\mathrm{on}\:\mathrm{a}\:\mathrm{horizontal}\:\mathrm{straight}\:\mathrm{line}. \\ $$$$\mathrm{When}\:\mathrm{the}\:\mathrm{particle}\:\mathrm{is}\:\mathrm{3}\:\mathrm{m}\:\mathrm{away}\:\mathrm{from}\:\mathrm{the}\:\mathrm{centre},\:\mathrm{O},\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{line}\:\mathrm{AB}, \\ $$$$\mathrm{its}\:\mathrm{speed}\:\mathrm{is}\:\mathrm{8}\:\mathrm{ms}^{−\mathrm{1}} .\:\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{least}\:\mathrm{time}\:\mathrm{required}\:\mathrm{for}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{particle}\:\mathrm{to}\:\mathrm{move}\:\mathrm{from}\:\mathrm{B}\:\mathrm{to}\:\mathrm{the}\:\mathrm{midpoint}\:\mathrm{of}\:\mathrm{OA}. \\ $$
Answered by mr W last updated on 23/Feb/21
$${v}={V}_{\mathrm{0}} \mathrm{cos}\:\omega{t}\:{with}\:{V}_{\mathrm{0}} ={speed}\:{at}\:{O} \\ $$$${s}={S}_{\mathrm{1}} \mathrm{sin}\:\omega{t}\:{with}\:{S}_{\mathrm{1}} ={OB}=\mathrm{5}\:{m} \\ $$$${T}={period}=\frac{\mathrm{2}\pi}{\omega} \\ $$$${at}\:{t}={t}_{\mathrm{1}} :\:{s}=\mathrm{3}{m},\:{v}=\mathrm{8}\:{m}/{s} \\ $$$$\mathrm{8}={V}_{\mathrm{0}} \mathrm{cos}\:\omega{t}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{3}=\mathrm{5}\:\mathrm{sin}\:\omega{t}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\left(\frac{\mathrm{8}}{{V}_{\mathrm{0}} }\right)^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{V}_{\mathrm{0}} =\mathrm{10}\:{m}/{s} \\ $$$${on}\:{the}\:{other}\:{side}:\:{V}_{\mathrm{0}} =\omega{S}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\omega=\frac{{V}_{\mathrm{0}} }{{S}_{\mathrm{1}} }=\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{8}}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}\:\mathrm{1}/{s} \\ $$$$\Rightarrow{T}=\frac{\mathrm{2}\pi}{\omega}=\frac{\mathrm{8}\pi}{\mathrm{5}}\:{s} \\ $$$${least}\:{time}\:{from}\:{B}\:{to}\:{O}\:=\frac{{T}}{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{5}} \\ $$$${at}\:{midpoint}\:{OA}={C}:\:{s}=\frac{{OA}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}=\mathrm{5}\:\mathrm{sin}\:\omega{t}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\omega{t}_{\mathrm{2}} =\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{\pi}{\mathrm{6}} \\ $$$$\Rightarrow{t}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{4}\pi}{\mathrm{5}×\mathrm{6}}=\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{15}} \\ $$$${least}\:{time}\:{from}\:{B}\:{to}\:{C}:\: \\ $$$$\frac{{T}}{\mathrm{4}}+{t}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{15}}=\frac{\mathrm{8}\pi}{\mathrm{15}}\approx\mathrm{1}.\mathrm{675}\:{s} \\ $$
Commented by physicstutes last updated on 23/Feb/21
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$