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Question Number 10485 by Saham last updated on 13/Feb/17
A sequence of numbers T_1 , T_2 , T_3 , ... Satisfies the relation 3T_n = T_(n − 1) + 6, Show that for all values of n ≥ 1, T_n − 3 = (1/3)(T_(n − 3) − 3). Hence or otherwise show that if T_1 = 4, T_n = 3 + 3^(1 − n) for all values of n, also find the sum of the first five terms of the sequence.
$$\mathrm{A}\:\mathrm{sequence}\:\mathrm{of}\:\mathrm{numbers}\:\mathrm{T}_{\mathrm{1}} ,\:\mathrm{T}_{\mathrm{2}} ,\:\mathrm{T}_{\mathrm{3}} ,\:…\:\:\mathrm{Satisfies}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{relation}\:\mathrm{3T}_{\mathrm{n}} =\:\mathrm{T}_{\mathrm{n}\:−\:\mathrm{1}} \:+\:\mathrm{6},\:\mathrm{Show}\:\mathrm{that}\:\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:\mathrm{values}\: \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{n}\:\geqslant\:\mathrm{1},\:\mathrm{T}_{\mathrm{n}} −\:\mathrm{3}\:\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{T}_{\mathrm{n}\:−\:\mathrm{3}} \:−\:\mathrm{3}\right).\:\mathrm{Hence}\:\mathrm{or}\:\mathrm{otherwise} \\ $$$$\mathrm{show}\:\mathrm{that}\:\mathrm{if}\:\mathrm{T}_{\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{4},\:\mathrm{T}_{\mathrm{n}} \:=\:\mathrm{3}\:+\:\mathrm{3}^{\mathrm{1}\:−\:\mathrm{n}} \:\:\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:\mathrm{values}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{n},\:\mathrm{also}\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{first}\:\mathrm{five}\:\mathrm{terms}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\: \\ $$$$\mathrm{sequence}. \\ $$
Answered by mrW1 last updated on 19/Feb/17
3T_n = T_(n − 1) + 6 ⇒T_(n−1) =3T_n −6 ...(i) 3T_(n−1) = T_(n −2) + 6 ...(ii) 3T_(n−2) = T_(n − 3) + 6 ⇒T_(n−2) =(T_(n−3) /3)+2 ...(ii) (i) and (iii) in (ii): 3(3T_n −6)=((T_(n−3) /3)+2)+6 9T_n =(T_(n−3) /3)+26 T_1 =4=3+1=3+3^0 T_2 =(1/3)T_1 +2=(4/3)+2=3+3^(−1) T_3 =(1/3)T_2 +2=(1/3)(3+3^(−1) )+2=3+3^(−2) T_4 =(1/3)T_3 +2=(1/3)(3+3^(−2) )+2=3+3^(−3) ... T_n =3+3^(1−n) S(n)=Σ_(k=1) ^n T_k =Σ_(k=1) ^n (3+3^(1−k) )=3n+1×((1−((1/3))^n )/(1−(1/3))) =3n+((3^n −1)/3^n )×(3/2) =3n+((3^n −1)/(2×3^(n−1) )) S(5)=3×5+((3^5 −1)/(2×3^(5−1) ))=15+((243−1)/(2×81))=15+((121)/(81))=16((40)/(81))≈16.494
$$\mathrm{3T}_{\mathrm{n}} =\:\mathrm{T}_{\mathrm{n}\:−\:\mathrm{1}} \:+\:\mathrm{6}\:\Rightarrow{T}_{{n}−\mathrm{1}} =\mathrm{3}{T}_{{n}} −\mathrm{6}\:\:\:\:…\left({i}\right) \\ $$$$\mathrm{3T}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} =\:\mathrm{T}_{\mathrm{n}\:−\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{6}\:\:\:\:…\left({ii}\right) \\ $$$$\mathrm{3T}_{\mathrm{n}−\mathrm{2}} =\:\mathrm{T}_{\mathrm{n}\:−\:\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{6}\:\Rightarrow{T}_{{n}−\mathrm{2}} =\frac{{T}_{{n}−\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}+\mathrm{2}\:\:\:\:\:…\left({ii}\right) \\ $$$$\left({i}\right)\:{and}\:\left({iii}\right)\:{in}\:\left({ii}\right): \\ $$$$\mathrm{3}\left(\mathrm{3}{T}_{{n}} −\mathrm{6}\right)=\left(\frac{{T}_{{n}−\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}+\mathrm{2}\right)+\mathrm{6} \\ $$$$\mathrm{9}{T}_{{n}} =\frac{{T}_{{n}−\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}+\mathrm{26} \\ $$$$ \\ $$$${T}_{\mathrm{1}} =\mathrm{4}=\mathrm{3}+\mathrm{1}=\mathrm{3}+\mathrm{3}^{\mathrm{0}} \\ $$$${T}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{T}_{\mathrm{1}} +\mathrm{2}=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}+\mathrm{2}=\mathrm{3}+\mathrm{3}^{−\mathrm{1}} \\ $$$${T}_{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{T}_{\mathrm{2}} +\mathrm{2}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{3}+\mathrm{3}^{−\mathrm{1}} \right)+\mathrm{2}=\mathrm{3}+\mathrm{3}^{−\mathrm{2}} \\ $$$${T}_{\mathrm{4}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{T}_{\mathrm{3}} +\mathrm{2}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{3}+\mathrm{3}^{−\mathrm{2}} \right)+\mathrm{2}=\mathrm{3}+\mathrm{3}^{−\mathrm{3}} \\ $$$$… \\ $$$${T}_{{n}} =\mathrm{3}+\mathrm{3}^{\mathrm{1}−{n}} \\ $$$${S}\left({n}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{T}_{{k}} =\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\mathrm{3}+\mathrm{3}^{\mathrm{1}−{k}} \right)=\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}×\frac{\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)^{{n}} }{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \\ $$$$=\mathrm{3}{n}+\frac{\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{{n}} }×\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\mathrm{3}{n}+\frac{\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2}×\mathrm{3}^{{n}−\mathrm{1}} } \\ $$$${S}\left(\mathrm{5}\right)=\mathrm{3}×\mathrm{5}+\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{5}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2}×\mathrm{3}^{\mathrm{5}−\mathrm{1}} }=\mathrm{15}+\frac{\mathrm{243}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}×\mathrm{81}}=\mathrm{15}+\frac{\mathrm{121}}{\mathrm{81}}=\mathrm{16}\frac{\mathrm{40}}{\mathrm{81}}\approx\mathrm{16}.\mathrm{494} \\ $$
Commented by Saham last updated on 19/Feb/17
God bless you sir. i will reduce it.
$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{i}\:\mathrm{will}\:\mathrm{reduce}\:\mathrm{it}. \\ $$

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