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A-sequence-of-numbers-T-1-T-2-T-3-T-n-satisfies-the-relation-T-n-1-n-2-nT-n-2-for-all-integers-n-1-if-T-1-2-find-a-The-values-of-T-2-T-3-T-4-b-An-expression-f

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Question Number 10487 by Saham last updated on 13/Feb/17
A sequence of numbers T_1 ,T_2 ,T_3 ,....... T_(n ) satisfies the relation T_(n + 1) + n^2 = nT_n + 2 for all integers n≥1. if T_1 = 2. find (a) The values of T_2 , T_3 , T_4 (b) An expression for T_n in terms of the sequence (c) The sum of the first nth terms of the sequence (d) The sum of T_n + T_(n + 1) + T_(n + 2) when n = 20
$$\mathrm{A}\:\mathrm{sequence}\:\mathrm{of}\:\mathrm{numbers}\:\mathrm{T}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{T}_{\mathrm{2}} ,\mathrm{T}_{\mathrm{3}} ,…….\:\mathrm{T}_{\mathrm{n}\:} \mathrm{satisfies} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{relation}\:\mathrm{T}_{\mathrm{n}\:+\:\mathrm{1}} \:+\:\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{nT}_{\mathrm{n}} \:+\:\mathrm{2}\:\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:\mathrm{integers} \\ $$$$\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}.\:\mathrm{if}\:\mathrm{T}_{\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{2}.\:\mathrm{find}\: \\ $$$$\left(\mathrm{a}\right)\:\mathrm{The}\:\mathrm{values}\:\mathrm{of}\:\mathrm{T}_{\mathrm{2}} ,\:\mathrm{T}_{\mathrm{3}} ,\:\mathrm{T}_{\mathrm{4}} \\ $$$$\left(\mathrm{b}\right)\:\mathrm{An}\:\mathrm{expression}\:\mathrm{for}\:\mathrm{T}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{in}\:\mathrm{terms}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sequence} \\ $$$$\left(\mathrm{c}\right)\:\mathrm{The}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{first}\:\mathrm{nth}\:\mathrm{terms}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sequence} \\ $$$$\left(\mathrm{d}\right)\:\mathrm{The}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{T}_{\mathrm{n}} \:+\:\mathrm{T}_{\mathrm{n}\:+\:\mathrm{1}} \:+\:\mathrm{T}_{\mathrm{n}\:+\:\mathrm{2}} \:\:\mathrm{when}\:\mathrm{n}\:=\:\mathrm{20} \\ $$
Answered by mrW1 last updated on 17/Feb/17
T_(n + 1) = nT_n + 2−n^2 (a) T_1 =2 T_2 =1×T_1 +2−1^2 =2+2−1=3 T_3 =2×T_2 +2−2^2 =6+2−4=4 T_4 =3×T_3 +2−3^2 =12+2−9=5 (b) T_n =n+1 (c) S(n)=Σ_(k=1) ^n T_k =2+3+4+...+(n+1)=((n(n+1))/2) (d) T_(20) +T_(21) +T_(22) =21+22+23=66
$$\:\mathrm{T}_{\mathrm{n}\:+\:\mathrm{1}} \:\:=\:\mathrm{nT}_{\mathrm{n}} \:+\:\mathrm{2}−\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left({a}\right) \\ $$$${T}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2} \\ $$$${T}_{\mathrm{2}} =\mathrm{1}×{T}_{\mathrm{1}} +\mathrm{2}−\mathrm{1}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}+\mathrm{2}−\mathrm{1}=\mathrm{3} \\ $$$${T}_{\mathrm{3}} =\mathrm{2}×{T}_{\mathrm{2}} +\mathrm{2}−\mathrm{2}^{\mathrm{2}} =\mathrm{6}+\mathrm{2}−\mathrm{4}=\mathrm{4} \\ $$$${T}_{\mathrm{4}} =\mathrm{3}×{T}_{\mathrm{3}} +\mathrm{2}−\mathrm{3}^{\mathrm{2}} =\mathrm{12}+\mathrm{2}−\mathrm{9}=\mathrm{5} \\ $$$$\left({b}\right) \\ $$$${T}_{{n}} ={n}+\mathrm{1} \\ $$$$\left({c}\right) \\ $$$${S}\left({n}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{T}_{{k}} =\mathrm{2}+\mathrm{3}+\mathrm{4}+…+\left({n}+\mathrm{1}\right)=\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$\left({d}\right) \\ $$$${T}_{\mathrm{20}} +{T}_{\mathrm{21}} +{T}_{\mathrm{22}} =\mathrm{21}+\mathrm{22}+\mathrm{23}=\mathrm{66} \\ $$
Commented by Saham last updated on 18/Feb/17
I really appreciate sir.
$$\mathrm{I}\:\mathrm{really}\:\mathrm{appreciate}\:\mathrm{sir}. \\ $$

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