Question Number 133068 by mnjuly1970 last updated on 18/Feb/21
$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:….{advanced}…..{calculus}…. \\ $$$$\:\:\:{evaluation}::\:\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} \left(\:\frac{\zeta\left({k}\right)−\mathrm{1}}{{k}}\right) \\ $$$$\:\:\:\::::\boldsymbol{\Phi}=\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} \:\frac{\zeta\left({k}\right)−\mathrm{1}}{{k}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{{k}}\:\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{{k}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\underset{{k}=\mathrm{2}\:} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{{k}\:{n}^{{k}} }\right)= \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(\frac{−\mathrm{1}}{{n}}\right)^{{k}} }{{k}}=\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}−\frac{\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}+…\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}}+\frac{\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}−\frac{\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}+..\right) \\ $$$$\:\:\:=\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}−{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right)\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\Phi_{{n}} =\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{i}+\mathrm{1}}−{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{i}+\mathrm{1}}\right)\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left(\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{i}+\mathrm{1}}\right)\:−\left({ln}\left(\mathrm{3}\right)−{ln}\left(\mathrm{2}\right)+{ln}\left(\mathrm{4}\right)−{ln}\left(\mathrm{3}\right)+..+{ln}\left({n}+\mathrm{2}\right)−{ln}\left({n}+\mathrm{1}\right)\right) \\ $$$$\:\:\:\:={ln}\left(\mathrm{2}\right)−{ln}\left({n}+\mathrm{2}\right)+\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{i}+\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:={ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}+\left\{\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{i}}\:−{ln}\left({n}+\mathrm{2}\right)\right\} \\ $$$$\:\:\therefore\:\:{lim}_{{n}\rightarrow\infty} \left(\boldsymbol{\Phi}_{{n}} \right)=\:\gamma+\mathrm{1}{n}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\Phi}=\gamma+{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}\:\:\:….. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$ \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 18/Feb/21
$${mamnoon}\left({grateful}\right)\:{sir}\:{payan} \\ $$
Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 18/Feb/21
$$\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}\left(\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}^{{n}} }\right) \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{nk}^{{n}} }=\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\frac{\mathrm{1}}{{k}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{k}^{\mathrm{3}} }+…\right)+\frac{\mathrm{1}}{{k}} \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}−{log}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right) \\ $$$$=−\mathrm{1}+{log}\left(\mathrm{2}\right)+\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}−{log}\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\prod}}\frac{{k}+\mathrm{1}}{{k}}\right) \\ $$$$=−\mathrm{1}+{log}\left(\mathrm{2}\right)+\underset{\phi\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}−{log}\left(\phi\right) \\ $$$$=\gamma−\mathrm{1}+{log}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$