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advanced-calculus-first-prove-that-1-0-1-ln-1-x-ln-1-x-x-dx-5-8-3-then-conclude-that-2-0-1-ln-2-1-




Question Number 135252 by mnjuly1970 last updated on 11/Mar/21
         ....advanced    calculus....      first prove that::                          𝛗_1 =∫_0 ^( 1) ((ln(1βˆ’x)ln(1+x))/x)dx=((βˆ’5)/8) ΞΆ(3)       then conclude that:             𝛗_2 =∫_0 ^( 1) ((ln^2 (1+x))/x)dx=((ΞΆ(3))/4)         ....m.n...
$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:….{advanced}\:\:\:\:{calculus}…. \\ $$$$\:\:\:\:{first}\:{prove}\:{that}::\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\phi}_{\mathrm{1}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}βˆ’{x}\right){ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{{x}}{dx}=\frac{βˆ’\mathrm{5}}{\mathrm{8}}\:\zeta\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:{then}\:{conclude}\:{that}:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\phi}_{\mathrm{2}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+{x}\right)}{{x}}{dx}=\frac{\zeta\left(\mathrm{3}\right)}{\mathrm{4}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:….{m}.{n}… \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 11/Mar/21
Ξ¦_1 =∫_0 ^1 ((ln(1βˆ’x))/x)ln(1+x)dx  we have ln^β€² (1+x)=(1/(1+x))=Ξ£_(n=0) ^∞ (βˆ’1)^n x^n   β‡’ln(1+x)=Ξ£_(n=0) ^∞ (βˆ’1)^n  (x^(n+1) /(n+1)) +c(c=0) =Ξ£_(n=1) ^∞ (βˆ’1)^(nβˆ’1)  (x^n /n) β‡’  ((ln(1+x))/x)=Ξ£_(n=1) ^∞ (βˆ’1)^(nβˆ’1)  (x^(nβˆ’1) /n) β‡’Ξ¦_1 =Ξ£_(n=1) ^∞  (((βˆ’1)^(nβˆ’1) )/n)∫_0 ^1  x^(nβˆ’1)  ln(1βˆ’x)dx  A_n =∫_0 ^1  x^(nβˆ’1) ln(1βˆ’x)dx =[((x^n βˆ’1)/n)ln(1βˆ’x)]_0 ^1 +∫_0 ^1  ((x^n βˆ’1)/(n(1βˆ’x)))dx  =βˆ’(1/n)∫_0 ^1  ((x^n βˆ’1)/(xβˆ’1))dx =βˆ’(1/n)∫_0 ^1 (1+x+x^2  +....+x^(nβˆ’1) )dx  =βˆ’(1/n)[x+(x^2 /2)+....+(x^n /n)]_0 ^1  =βˆ’(1/n)(1+(1/2)+....+(1/n))=βˆ’(H_n /n) β‡’  Ξ¦_1 =Ξ£_(n=1) ^∞  (((βˆ’1)^n )/n^2 )H_n =Ξ£_(n=1) ^∞ (βˆ’1)^n  (H_n /n^2 )  rest to find the value of this serie....be continued...
$$\Phi_{\mathrm{1}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}βˆ’\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{ln}^{'} \left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(βˆ’\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(βˆ’\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:+\mathrm{c}\left(\mathrm{c}=\mathrm{0}\right)\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(βˆ’\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}βˆ’\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(βˆ’\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}βˆ’\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}βˆ’\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\:\Rightarrow\Phi_{\mathrm{1}} =\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(βˆ’\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}βˆ’\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}βˆ’\mathrm{1}} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}βˆ’\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}βˆ’\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}βˆ’\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=\left[\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} βˆ’\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}βˆ’\mathrm{x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} +\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} βˆ’\mathrm{1}}{\mathrm{n}\left(\mathrm{1}βˆ’\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} βˆ’\mathrm{1}}{\mathrm{x}βˆ’\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:=βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+….+\mathrm{x}^{\mathrm{n}βˆ’\mathrm{1}} \right)\mathrm{dx} \\ $$$$=βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\left[\mathrm{x}+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+….+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:=βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+….+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)=βˆ’\frac{\mathrm{H}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\:\Rightarrow \\ $$$$\Phi_{\mathrm{1}} =\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(βˆ’\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\mathrm{H}_{\mathrm{n}} =\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(βˆ’\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{H}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{rest}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{this}\:\mathrm{serie}….\mathrm{be}\:\mathrm{continued}… \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 12/Mar/21
thank you so much      Ξ£(((βˆ’1)^n H_n )/n^2 )=((βˆ’5)/8) ΞΆ(3)
$${thank}\:{you}\:{so}\:{much} \\ $$$$\:\:\:\:\Sigma\frac{\left(βˆ’\mathrm{1}\right)^{{n}} {H}_{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }=\frac{βˆ’\mathrm{5}}{\mathrm{8}}\:\zeta\left(\mathrm{3}\right) \\ $$

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