Question Number 141668 by mnjuly1970 last updated on 22/May/21
$$\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:…….{Advanced}\:…\bigstar\:…\bigstar\:…\:{Calculus}……. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:{if}\:\:\:\:\Omega\:=\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \zeta\left({n}\right)}{\mathrm{2}^{{n}} }\:{then}\:{prove} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{that}\:::\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:=\:{e}^{\Omega−\mathrm{1}} \:\: \\ $$$$\:\:\:\:{proof}\::: \\ $$$$\:\:\:\:{method}\:\left(\mathrm{1}\right): \\ $$$$\:\:\:\:\:\psi\:\left(\mathrm{1}+{x}\:\right)=\:−\gamma+\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \zeta\left({n}\right){x}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\:{Maclaurin}\:{series}\:{for}\:\psi\left({x}+\mathrm{1}\right)\:\right) \\ $$$$\:\:\:\:{x}:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\:\psi\:\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\:\right)=−\gamma\:+\:\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \zeta\left({n}\right)}{\mathrm{2}^{{n}} }\:\:\left(\ast\:\right) \\ $$$$\:\:\:\:{we}\:{know}\:{that}\:::\:\psi\left(\mathrm{1}+{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\psi\left({x}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\left(\:\ast\:\right)\:\:\Rrightarrow\:\psi\:\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{2}+\psi\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=−\gamma+\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \zeta\left({n}\right)}{\mathrm{2}^{{n}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\left(\ast\right)\:\:\:\:\:\Rrightarrow\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}−\gamma−{ln}\left(\mathrm{4}\right)=−\gamma+\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \zeta\left({n}\right)}{\mathrm{2}^{{n}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{ln}\left(\frac{{e}}{\mathrm{2}}\right)=\:\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \zeta\left({n}\right)}{\mathrm{2}^{{n}} }\:=\Omega \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:=\:{e}^{\Omega\:−\mathrm{1}} \:\:\:….\checkmark \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:…{m}.{n}.{july}.\mathrm{1970}… \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 22/May/21
$$\psi\left({z}+\mathrm{1}\right)=−\gamma+\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \zeta\left({n}\right){z}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$${z}^{\mathrm{2}} \psi\left({z}+\mathrm{1}\right)=−\gamma{z}^{\mathrm{2}} +\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \zeta\left({n}\right){z}^{{n}+\mathrm{1}} \:\:\psi\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=−\gamma−{log}\left(\mathrm{4}\right) \\ $$$${z}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\:\frac{\psi\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)+\gamma}{\mathrm{4}}=\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \zeta\left({n}\right)\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} \:} \\ $$$$\Rightarrow\frac{{log}\left({e}/\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}}=\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \frac{\zeta\left({n}\right)}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} } \\ $$$${e}^{\Omega−\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 22/May/21
$${thanks}\:{alot}\:{mr}\:{payan} \\ $$$${i}\:{edited}\:{it}..{grateful}.. \\ $$$${please}\:{recheck}\:{my}\:{answer}.. \\ $$
Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 22/May/21
$${Yes}\:{sir}\:{it}\:{is}\:{Correct} \\ $$