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Advanced-Calculus-prove-that-0-1-ln-1-x-1-x-2-dx-pi-8-ln-2-G-where-G-is-catalan-number-




Question Number 137973 by mnjuly1970 last updated on 08/Apr/21
                       .......Advanced ... ... ... ... Calculus.......      prove that:::          𝛗=∫_0 ^( 1) ((ln(1βˆ’x))/(1+x^2 ))dx=(Ο€/8)ln(2)βˆ’G ...βœ“      where  G is catalan number...
$$\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:…….{Advanced}\:…\:…\:…\:…\:{Calculus}……. \\ $$$$\:\:\:\:{prove}\:{that}::: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\phi}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}βˆ’{x}\right)}{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }{dx}=\frac{\pi}{\mathrm{8}}{ln}\left(\mathrm{2}\right)βˆ’{G}\:…\checkmark \\ $$$$\:\:\:\:{where}\:\:{G}\:{is}\:{catalan}\:{number}… \\ $$$$\:\:\: \\ $$
Answered by EnterUsername last updated on 08/Apr/21
∫_0 ^1 ((ln(1βˆ’x))/(1+x^2 ))dx=∫_0 ^(Ο€/4) ln(1βˆ’tanΞΈ)dΞΈ  =∫_0 ^(Ο€/4) ln(cosxβˆ’sinx)dxβˆ’βˆ«_0 ^(Ο€/4) lncosxdx  =∫_0 ^(Ο€/4) ln[(√2)cos(x+(Ο€/4))]dxβˆ’((G/2)βˆ’((Ο€ln2)/4))  =(Ο€/8)ln2+∫_0 ^(Ο€/4) ln(sinx)dxβˆ’((G/2)βˆ’((Ο€ln2)/4))  =(Ο€/8)ln2βˆ’(G/2)βˆ’((Ο€ln2)/4)βˆ’((G/2)βˆ’((Ο€ln2)/4))=(Ο€/8)ln2βˆ’G
$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}βˆ’{x}\right)}{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} {ln}\left(\mathrm{1}βˆ’{tan}\theta\right){d}\theta \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} {ln}\left({cosx}βˆ’{sinx}\right){dx}βˆ’\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} {lncosxdx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} {ln}\left[\sqrt{\mathrm{2}}{cos}\left({x}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)\right]{dx}βˆ’\left(\frac{{G}}{\mathrm{2}}βˆ’\frac{\pi{ln}\mathrm{2}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{8}}{ln}\mathrm{2}+\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} {ln}\left({sinx}\right){dx}βˆ’\left(\frac{{G}}{\mathrm{2}}βˆ’\frac{\pi{ln}\mathrm{2}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{8}}{ln}\mathrm{2}βˆ’\frac{{G}}{\mathrm{2}}βˆ’\frac{\pi{ln}\mathrm{2}}{\mathrm{4}}βˆ’\left(\frac{{G}}{\mathrm{2}}βˆ’\frac{\pi{ln}\mathrm{2}}{\mathrm{4}}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{8}}{ln}\mathrm{2}βˆ’{G} \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 08/Apr/21
 grateful...
$$\:{grateful}… \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 09/Apr/21
f(a)=∫_0 ^1  ((ln(1+ax))/(1+x^2 ))dx β‡’f^β€² (a)=∫_0 ^1  (x/((ax+1)(x^2  +1)))dx  =(1/a)∫_0 ^1  ((ax+1βˆ’1)/((ax+1)(x^2  +1)))dx =(1/a)[arctanx]_0 ^1 βˆ’(1/a)∫_0 ^1  (dx/((ax+1)(x^2  +1)))  =(Ο€/(4a))βˆ’(1/a)∫_0 ^1  (dx/((ax+1)(x^2  +1)))  let decompose F(x)=(1/((ax+1)(x^2  +1)))  F(x)=(Ξ±/(ax+1)) +((mx+n)/(x^2  +1))  Ξ±=(1/((1/a^2 )+1)) =(a^2 /(1+a^2 ))  lim_(xβ†’+∞) xF(x)=0=(Ξ±/a) +m β‡’m=βˆ’(a/(1+a^2 ))  F(o)=1=Ξ±+n β‡’n=1βˆ’(a^2 /(1+a^2 ))=(1/(1+a^2 )) β‡’F(x)=(a^2 /((a^2  +1)(ax+1)))  +((βˆ’(a/(a^2  +1))x+(1/(1+a^2 )))/(x^2  +1)) β‡’βˆ«_0 ^1  F(x)dx=(a^2 /(a^2  +1))∫_0 ^1  (dx/(ax+1))  βˆ’(1/(a^2  +1))∫_0 ^1  ((axβˆ’1)/(x^2  +1))dx =(a/(a^2  +1))[ln(ax+1)]_0 ^1 βˆ’(a/(2(a^2  +1)))∫_0 ^1  ((2x)/(x^2  +1))dx  +(Ο€/(4(a^2  +1)))=((aln(a+1))/(a^2  +1)) βˆ’(a/(2(a^2  +1)))ln(2)+(Ο€/(4(a^2  +1))) β‡’  f^β€² (a)=(Ο€/(4a))βˆ’((ln(a+1))/(a^2  +1))+((ln2)/(2(a^2  +1))) βˆ’(Ο€/(4a(a^2  +1)))  =(Ο€/(4a))(1βˆ’(1/(a^2 +1)))βˆ’((ln(a+1))/(a^2  +1))+((ln2)/(2(a^2  +1))) =((Ο€a)/4)βˆ’((ln(a+1))/(a^2  +1))+((ln2)/(2(a^2  +1)))  β‡’βˆ«_0 ^1  f^β€² (a)da =(Ο€/4)∫_0 ^1  ada βˆ’βˆ«_0 ^1  ((ln(a+1))/(a^2  +1))da+((ln2)/2)∫_0 ^1  (da/(a^2  +1))  =(Ο€/4)Γ—(1/2) βˆ’βˆ«_0 ^1  ((ln(1+x))/(x^2  +1))dx +((ln2)/2).(Ο€/4)  =(Ο€/8)βˆ’βˆ«_0 ^1  ((ln(1+x))/(x^2  +1))dx+(Ο€/8)ln2  =f(1)=∫_0 ^1  ((ln(1+x))/(1+x^2 ))dx β‡’  2∫_0 ^1  ((ln(1+x))/(x^2  +1))dx =(Ο€/8)+(Ο€/8)ln2 β‡’βˆ«_0 ^1  ((ln(1+x))/(x^2  +1))dx =(Ο€/(16))+(Ο€/(16))ln2  ?  if we want ∫_0 ^1  ((ln(1βˆ’x))/(x^2  +1))dx we use the parametric  f(a)=∫_0 ^1  ((ln(1βˆ’ax))/(x^2  +1))dx....be continued....
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{ax}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{ax}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ax}+\mathrm{1}βˆ’\mathrm{1}}{\left(\mathrm{ax}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\left[\mathrm{arctanx}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{ax}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{4a}}βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{ax}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{ax}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\alpha}{\mathrm{ax}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{mx}+\mathrm{n}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$\alpha=\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \mathrm{xF}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0}=\frac{\alpha}{\mathrm{a}}\:+\mathrm{m}\:\Rightarrow\mathrm{m}=βˆ’\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{o}\right)=\mathrm{1}=\alpha+\mathrm{n}\:\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{1}βˆ’\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{ax}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$+\frac{βˆ’\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{ax}+\mathrm{1}} \\ $$$$βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ax}βˆ’\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\left[\mathrm{ln}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{1}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} βˆ’\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{2x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$+\frac{\pi}{\mathrm{4}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{aln}\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:βˆ’\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\frac{\pi}{\mathrm{4}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{4a}}βˆ’\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{ln2}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:βˆ’\frac{\pi}{\mathrm{4a}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{4a}}\left(\mathrm{1}βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)βˆ’\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{ln2}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:=\frac{\pi\mathrm{a}}{\mathrm{4}}βˆ’\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{ln2}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)\mathrm{da}\:=\frac{\pi}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{ada}\:βˆ’\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{da}+\frac{\mathrm{ln2}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{da}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{4}}Γ—\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:βˆ’\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:+\frac{\mathrm{ln2}}{\mathrm{2}}.\frac{\pi}{\mathrm{4}} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{8}}βˆ’\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}+\frac{\pi}{\mathrm{8}}\mathrm{ln2}\:\:=\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:=\frac{\pi}{\mathrm{8}}+\frac{\pi}{\mathrm{8}}\mathrm{ln2}\:\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:=\frac{\pi}{\mathrm{16}}+\frac{\pi}{\mathrm{16}}\mathrm{ln2}\:\:? \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{we}\:\mathrm{want}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}βˆ’\boldsymbol{\mathrm{x}}\right)}{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\boldsymbol{\mathrm{dx}}\:\boldsymbol{\mathrm{we}}\:\boldsymbol{\mathrm{use}}\:\boldsymbol{\mathrm{the}}\:\boldsymbol{\mathrm{parametric}} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{f}}\left(\boldsymbol{\mathrm{a}}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}βˆ’\mathrm{ax}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}….\mathrm{be}\:\mathrm{continued}…. \\ $$$$ \\ $$

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