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calculate-0-cos-sinx-sin-cosx-x-2-1-2-dx-

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Question Number 136858 by mathmax by abdo last updated on 27/Mar/21
calculate ∫_0 ^∞ ((cos(sinx)−sin(cosx))/((x^2 +1)^2 ))dx
$$\mathrm{calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{sinx}\right)−\mathrm{sin}\left(\mathrm{cosx}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 27/Mar/21
Φ=∫_0 ^∞ ((cos(sinx))/((x^2 +1)^2 ))dx−∫_0 ^∞ ((sin(cosx))/((x^2 +1)^2 ))dx =I−J 2I =∫_(−∞) ^(+∞) ((cos(sinx))/((x^2 +1)^2 ))dx =Re(∫_(−∞) ^(+∞) (e^(isinx) /((x^2 +1)^2 ))dx) let W(z)=(e^(isinz) /((z^2 +1)^2 )) ⇒w(z)=(e^(isinz) /((z−i)^2 (z+i)^2 )) ∫_R w(z)dz =2iπRes(w,i) Res(w,i) =lim_(z→i) (1/((2−1)!)){(z−i)^2 w(z)}^((1)) =lim_(z→i) { (e^(isinz) /((z+i)^2 ))}^((1)) =lim_(z→i) ((icosz e^(isinz) (z+i)^2 −2(z+i)e^(isinz) )/((z+i)^4 )) =lim_(z→i) (((icosz(z+i)−2)e^(isinz) )/((z+i)^3 ))=(((−2cosi−2)e^(isini) )/((2i)^3 )) =(((−2cosi−2)e^(isini) )/(−8i)) =(((1+cos(i))e^(isin(i)) )/(4i)) we have cosz =((e^(iz) +e^(−iz) )/2) ⇒cos(i)=((e^(−1) +e)/2) =ch(1) sin(z) =((e^(iz) −e^(−iz) )/(2i)) ⇒sin(i)=((e^(−1) −e)/(2i)) ⇒isin(i)=((e^(−1) −e)/2)=−sh(1) ⇒ Res(w,i)=(((1+ch(1))e^(−sh(1)) )/(4i)) ⇒∫_R w(z)dz=2iπ (((1+ch(1))e^(−sh(1)) )/(4i)) =(π/2)(1+ch(1))sh(1) ⇒I=(π/4)(1+ch(1))e^(−sh(1)) 2J =∫_(−∞) ^(+∞) ((sin(cosx))/((x^2 +1)^2 ))dx =Im(∫_(−∞) ^(+∞) (e^(icosx) /((x^2 +1)^2 ))dx) let ϕ(z)=(e^(icosz) /((z^2 +1)^2 )) ⇒ϕ(z)=(e^(icosz) /((z−i)^2 (z+i)^2 )) ∫_R ϕ(z)dz =2iπ Res(ϕ,i) Res(ϕ,i)=lim_(z→i) (1/((2−1)!)){(z−i)^2 ϕ(z)}^((1)) =lim_(z→i) {(e^(icosz) /((z+i)^2 ))}^((1)) =lim_(z→i) ((−isinze^(icosz) (z+i)^2 −2(z+i) e^(icosz) )/((z+i)^4 )) =lim_(z→i) (((−isinz(z+i)−2)e^(icosz) )/((z+i)^3 )) =(((2sini−2)e^(icosi) )/(−8i)) =(((1−sini)e^(icosi) )/(4i)) ⇒∫_R ϕ(z)dz =2iπ(((1−sin(i))e^(icosi) )/(4i)) =(π/2)(1−sin(i)e^(icos(i)) cos(i)=ch(1) ⇒icos(i)=ich(1)⇒e^(icos(i)) =e^(ich(1) ) =cos(ch1)+isin(ch(1)) sin(i)=((e^(i(i)) −e^(−i(i)) )/(2i)) =((e^(−i) −e)/(2i)) =−((e−e^(−1) )/(2i))=−sh(1) rest to extract Im( ∫ ϕ)....
$$\Phi=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{sinx}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{cosx}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:=\mathrm{I}−\mathrm{J} \\ $$$$\mathrm{2I}\:=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{sinx}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:=\mathrm{Re}\left(\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{isinx}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\right)\:\mathrm{let} \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{isinz}} }{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\mathrm{w}\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{isinz}} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\int_{\mathrm{R}} \mathrm{w}\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\mathrm{Res}\left(\mathrm{w},\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\mathrm{w},\mathrm{i}\right)\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}−\mathrm{1}\right)!}\left\{\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{w}\left(\mathrm{z}\right)\right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\left\{\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{isinz}} }{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} }\right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \:=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\frac{\mathrm{icosz}\:\mathrm{e}^{\mathrm{isinz}} \left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{isinz}} }{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\:\frac{\left(\mathrm{icosz}\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)−\mathrm{2}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{isinz}} }{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{3}} }=\frac{\left(−\mathrm{2cosi}−\mathrm{2}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{isini}} }{\left(\mathrm{2i}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\frac{\left(−\mathrm{2cosi}−\mathrm{2}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{isini}} }{−\mathrm{8i}}\:=\frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{i}\right)\right)\mathrm{e}^{\mathrm{isin}\left(\mathrm{i}\right)} }{\mathrm{4i}} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{cosz}\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{iz}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{iz}} }{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{cos}\left(\mathrm{i}\right)=\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} \:+\mathrm{e}}{\mathrm{2}}\:=\mathrm{ch}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{sin}\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{iz}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{iz}} }{\mathrm{2i}}\:\Rightarrow\mathrm{sin}\left(\mathrm{i}\right)=\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} −\mathrm{e}}{\mathrm{2i}}\:\Rightarrow\mathrm{isin}\left(\mathrm{i}\right)=\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} −\mathrm{e}}{\mathrm{2}}=−\mathrm{sh}\left(\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\mathrm{w},\mathrm{i}\right)=\frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{ch}\left(\mathrm{1}\right)\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{sh}\left(\mathrm{1}\right)} }{\mathrm{4i}}\:\Rightarrow\int_{\mathrm{R}} \mathrm{w}\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}=\mathrm{2i}\pi\:\frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{ch}\left(\mathrm{1}\right)\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{sh}\left(\mathrm{1}\right)} }{\mathrm{4i}} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{ch}\left(\mathrm{1}\right)\right)\mathrm{sh}\left(\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\mathrm{I}=\frac{\pi}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{ch}\left(\mathrm{1}\right)\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{sh}\left(\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{2J}\:=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\:\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{cosx}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:=\mathrm{Im}\left(\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{icosx}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\right)\:\mathrm{let} \\ $$$$\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{icosz}} }{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{icosz}} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\int_{\mathrm{R}} \varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\:\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right)=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}−\mathrm{1}\right)!}\left\{\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} \varphi\left(\mathrm{z}\right)\right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\:\left\{\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{icosz}} }{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} }\right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \:=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\frac{−\mathrm{isinze}^{\mathrm{icosz}} \left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)\:\mathrm{e}^{\mathrm{icosz}} }{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\:\frac{\left(−\mathrm{isinz}\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)−\mathrm{2}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{icosz}} }{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\frac{\left(\mathrm{2sini}−\mathrm{2}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{icosi}} }{−\mathrm{8i}} \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{sini}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{icosi}} }{\mathrm{4i}}\:\Rightarrow\int_{\mathrm{R}} \varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\left(\mathrm{i}\right)\right)\mathrm{e}^{\mathrm{icosi}} }{\mathrm{4i}} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\left(\mathrm{i}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{icos}\left(\mathrm{i}\right)} \right. \\ $$$$\mathrm{cos}\left(\mathrm{i}\right)=\mathrm{ch}\left(\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\mathrm{icos}\left(\mathrm{i}\right)=\mathrm{ich}\left(\mathrm{1}\right)\Rightarrow\mathrm{e}^{\mathrm{icos}\left(\mathrm{i}\right)} \:=\mathrm{e}^{\mathrm{ich}\left(\mathrm{1}\right)\:} \:=\mathrm{cos}\left(\mathrm{ch1}\right)+\mathrm{isin}\left(\mathrm{ch}\left(\mathrm{1}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{sin}\left(\mathrm{i}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{i}\right)} −\mathrm{e}^{−\mathrm{i}\left(\mathrm{i}\right)} }{\mathrm{2i}}\:=\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{i}} −\mathrm{e}}{\mathrm{2i}}\:=−\frac{\mathrm{e}−\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} }{\mathrm{2i}}=−\mathrm{sh}\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{rest}\:\mathrm{to}\:\mathrm{extract} \\ $$$$\mathrm{Im}\left(\:\int\:\:\varphi\right)…. \\ $$

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