Question Number 141931 by mathmax by abdo last updated on 24/May/21
$$\mathrm{calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \right)\mathrm{dx} \\ $$
Answered by mindispower last updated on 24/May/21
$${ln}\left(\mathrm{1}+{e}^{\mathrm{3}{x}} \right)=\mathrm{3}{x}+{ln}\left(\mathrm{1}+{e}^{−\mathrm{3}{x}} \right) \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{3}{xe}^{−\mathrm{2}\boldsymbol{{x}}} \boldsymbol{{dx}}+\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} {e}^{−\mathrm{2}{x}} .\Sigma\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{{k}+\mathrm{1}}{e}^{−\mathrm{3}\left(\mathrm{1}+{k}\right){x}} {dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}{ye}^{−{y}} {dy}+\underset{{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{{k}+\mathrm{1}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} {e}^{−\left(\mathrm{5}+\mathrm{3}{k}\right){x}} {dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\Gamma\left(\mathrm{2}\right)+\underset{{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{{k}+\mathrm{1}}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}+\mathrm{3}{k}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}−\underset{{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{\mathrm{2}\left(\mathrm{5}+\mathrm{3}{k}\right)}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\underset{{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{{k}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(−\underset{{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}{k}+\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}{k}+\mathrm{8}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{ln}\left(\mathrm{2}{e}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\left(\underset{{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{\left({k}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{8}}\right)\left({k}+\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{6}}\right)}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{ln}\left(\mathrm{2}{e}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\frac{\Psi\left(\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{6}}\right)−\Psi\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}\right)}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{ln}\left(\mathrm{2}{e}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Psi\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Psi\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}\right) \\ $$$$\Psi\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\right)=\Psi\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)+\mathrm{3} \\ $$$$\Psi\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)=−\gamma−{ln}\left(\mathrm{6}\right)−\frac{\pi}{\mathrm{2}}{cot}\left(\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)+\mathrm{2}{cos}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\right){ln}\left({sin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)\right) \\ $$$$=−\gamma−{ln}\left(\mathrm{6}\right)−\frac{\pi}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}−{ln}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\Psi\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}\right)=−\gamma−{ln}\left(\mathrm{12}\right)−\frac{\pi}{\mathrm{2}}{cot}\left(\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{6}}\right)+\mathrm{2}{cos}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{6}}\right){ln}\left({sin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right)\right) \\ $$$$+\mathrm{2}{cos}\left(\frac{\mathrm{4}\pi}{\mathrm{6}}\right){ln}\left({sin}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{6}}\right)\right) \\ $$$$=−\gamma−{ln}\left(\mathrm{12}\right)+\frac{\pi}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{3}}+{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)−{ln}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$ \\ $$
Commented by Mathspace last updated on 24/May/21
$${thsnks}\:{sir} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 26/May/21
$$\Phi=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \right)\mathrm{dx}\:\:\mathrm{by}\:\mathrm{parts} \\ $$$$\Phi=\left[−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} \right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} ×\frac{\mathrm{3e}^{\mathrm{3x}} }{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} }\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{log2}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} }\mathrm{dx}\:\:\mathrm{but} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{3x}} }\mathrm{dx}\:=_{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} =\mathrm{t}} \:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }×\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}}=\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}\: \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}\:+\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{bt}\:+\mathrm{c}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{a}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}},\mathrm{lim}_{\mathrm{t}\rightarrow+\infty} \mathrm{tF}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{0}\:=\mathrm{a}+\mathrm{b}\:\Rightarrow\mathrm{b}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{1}=\mathrm{a}+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{c}=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}+\frac{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{t}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\frac{\mathrm{t}−\mathrm{2}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}\:+\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\:=\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{log}\mid\frac{\mathrm{t}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}}}\mid\right]_{\mathrm{1}} ^{\infty} \left(\rightarrow\mathrm{0}\right)\:+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}\:+\mathrm{1}} \\ $$$$\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}\:+\mathrm{1}}=\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}=_{\mathrm{t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{y}\:\rightarrow\mathrm{y}=\frac{\mathrm{2t}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\int_{\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{dy}\:=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left[\mathrm{arctany}\right]_{\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}} ^{\infty} \:=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right)=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}.\frac{\pi}{\mathrm{3}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\Rightarrow\Phi=\frac{\mathrm{log2}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}.\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\Rightarrow\Phi=\frac{\mathrm{log2}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\pi}{\:\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$