Question Number 76782 by mathmax by abdo last updated on 30/Dec/19
$${calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−{x}} \:\:\frac{{sin}\left({x}^{\mathrm{2}} \right)}{{x}^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$
Answered by mind is power last updated on 04/Apr/20
$${A}=\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} {e}^{−{x}} \frac{{sin}\left({x}^{\mathrm{2}} \right)}{{x}^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$${sin}\left({x}^{\mathrm{2}} \right)=\underset{{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} .{x}^{\mathrm{4}{n}+\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)!} \\ $$$${A}=\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \underset{{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {x}^{\mathrm{4}{n}} {e}^{−{x}} {dx}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)!} \\ $$$${A}=\underset{{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)!}\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} {x}^{\mathrm{4}{n}} {e}^{−{x}} {dx} \\ $$$$=\underset{{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \Gamma\left(\mathrm{4}{n}+\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)!}=\underset{{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} .\left(\mathrm{4}{n}\right)!}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)!} \\ $$$$=\underset{{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}.\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} .\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\mathrm{4}{k}\right).\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\left(\mathrm{4}{k}+\mathrm{1}\right).\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\left(\mathrm{4}{k}+\mathrm{2}\right).\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\left(\mathrm{4}{k}+\mathrm{3}\right)}{.\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right).\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$=\underset{{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} .\mathrm{4}^{\mathrm{4}{n}} .{n}!.\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\left({k}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right).\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+{k}\right).\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\left({k}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\right)}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}} \underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+{k}\right).{n}!} \\ $$$$=\underset{{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{.\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\left(\mathrm{1}+{k}\right).\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+{k}\right).\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}+{k}\right)}{\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+{k}\right).}.\frac{\left(−\mathrm{4}^{\mathrm{3}} \right)^{{n}} }{{n}!} \\ $$$$=\:\:\:_{\mathrm{3}} {F}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}},\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}};\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}};−\mathrm{4}^{\mathrm{3}} \right) \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$