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calculate-0-ln-2-x-2-x-2-x-1-dx-

Tinku Tara 0 Comments
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Question Number 73178 by mathmax by abdo last updated on 07/Nov/19
calculate ∫_0 ^∞ ((ln(2+x^2 ))/(x^2 −x+1))dx
$${calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{ln}\left(\mathrm{2}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}{dx} \\ $$
Answered by mind is power last updated on 07/Nov/19
=∫_∞ ^0 ((ln(2+(1/x^2 )))/((1/x^2 )−(1/x)+1)).−(dx/x^2 )=∫_0 ^(+∞) ((ln(2x^2 +1)−ln(x^2 ))/(1−x+x^2 ))dx =∫_0 ^(+∞) ((ln(2x^2 +1))/(1−x+x^2 ))dx−2∫_0 ^(+∞) ((ln(x))/(1−x+x^2 )) ∫_0 ^(+∞) ((ln(x))/(1−x+x^2 ))dx=−∫_0 ^(+∞) ((ln(x))/(1−x+x^2 ))dx⇒=0 =∫_0 ^(+∞) ((ln(2x^2 +1))/(1−x+x^2 ))dx let f(t)=∫_0 ^(+∞) ((ln(tx^2 +1))/(1−x+x^2 ))dx t≥0 f(0)=0 f′(t)=∫_0 ^∞ ((x^2 dx)/((tx^2 +1)(1−x+x^2 ))) f′(t)=∫_0 ^(+∞) ((ax+b)/(tx^2 +1))+((cx+d)/(1−x+x^2 )) b+d=0 (a/t)+c=0⇒a+tc=0 a−b+c=0 dt−a+b=1 b=−d a=−tc −tc+d+c=0 dt+tc−d=1 d=c(t−1) c(t−1)^2 +tc=1 c=(1/(t^2 −t+1)),d=((t−1)/(t^2 −t+1)),a=((−t)/(t^2 −t+1)),b=((1−t)/(t^2 −t+1)) f′(t)=(1/(t^2 −t+1))∫_0 ^(+∞) ((−tx+(1−t))/(tx^2 +1))dx+(1/(t^2 −t+1))∫_0 ^(+∞) ((x+t−1)/(x^2 −x+1)) =(1/(t^2 −t+1))∫_0 ^(+∞) ((−tx)/(tx^2 +1))+((1−t)/(t^2 −t+1))∫_0 ^(+∞) (dx/(tx^2 +1))+(1/(t^2 −t+1))∫_0 ^(+∞) ((x−(1/2))/(x^2 −x+1))dx +((t−(1/2))/(t^2 −t+1))∫_0 ^(+∞) (dx/(x^2 −x+1)) =lim_(y→∞) ((1/2)/(t^2 −t+1))ln(((x^2 −x+1)/(tx^2 +1)))_0 ^y =−((ln(t))/(2(t^2 −t+1))) ∫_0 ^(+∞) (dx/(tx^2 +1))=(1/( (√t))).(π/2) ∫_0 ^(+∞) (dx/(x^2 −x+1))=∫_0 ^(+∞) (dx/((x−(1/2))^2 +(3/4)))=(2/( (√3))).{(π/2)+(π/6)}=((4π)/(3(√3))) ⇒f′(t)=((ln(t))/(2(t^2 −t+1)))+((1−t)/(t^2 −t+1)).(π/2)(√t)+((t−(1/2))/(t^2 −t+1)).((4π)/(3(√3))) ⇒our integral is f(2),f(0)=0 ∫_0 ^(+∞) ((ln(2x^2 +1))/(x^2 −x+1))dx=f(2)=∫_0 ^2 f′(t)dt =∫_0 ^2 ((ln(t)dt)/(2(t^2 −t+1)))+(π/2)∫_0 ^2 (((1−t)(√t))/(t^2 −t+1))dt+((4π)/(3(√3)))∫_0 ^2 ((2t−1)/(2(t^2 −t+1)))dt only ∫_0 ^2 ((ln(t))/(t^2 −t+1))dt is tricky t^2 −t+1=(t−((1−i(√3))/2))(t−((1+i(√3))/2)) (1/(t^2 −t+1))=((−i(√3))/(t−((1−i(√3))/2)))+((i(√3))/(t−((1+i(√3))/2))) ∫_0 ^2 ((ln(t))/(t^2 −t+1))dt=−i(√3)∫_0 ^2 ((ln(t))/(t−((1−i(√3))/2)))dt+i(√3)∫_0 ^2 (dt/(t−((1+i(√3))/2)))=c j=((1−i(√3))/2),f=((1+i(√3))/2) c=i(√3)∫_0 ^2 ((ln(t))/(1−ft))dt−i(√3)∫_0 ^2 ((ln(t))/(1−jt))dt u=ft in firt ,jt=s in 2nd c=i(√3)j∫_0 ^(2f) ((ln(u)+ln(j))/(1−u))du−i(√3)f∫_0 ^(2j) ((ln(s)+ln(f))/(1−s))ds ∫_1 ^(1−z) ((ln(t))/(1−t))dt=Li_2 (z) ⇒∫_0 ^(2f) ((ln(u)+ln(j))/(1−u))du=Li_2 (1−2f)−Li_2 (1)−log(j)log(1−2f) ∫_0 ^(2j) ((ln(s)+ln(f))/(1−s))=Li_2 (1−2j)−Li_2 (1)−log(f)log(1−2j) ⇒∫_0 ^2 ((ln(t))/(t^2 −t+1))dt=i(√3)(((1−i(√3))/2)){Li_2 (−i(√3))−Li_2 (1)+((iπ)/3)Log(−i(√3)} −i(√3)(((1+i(√3))/2)){Li_2 (i(√3))−Li_2 (1)−((iπ)/3)log(i(√3))}
$$=\int_{\infty} ^{\mathrm{0}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}+\mathrm{1}}.−\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }=\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{1}−\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}−\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}=−\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\Rightarrow=\mathrm{0} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{tx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\:\mathrm{t}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{f}'\left(\mathrm{t}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{dx}}{\left(\mathrm{tx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}\: \\ $$$$\mathrm{f}'\left(\mathrm{t}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}{\mathrm{tx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{cx}+\mathrm{d}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{b}+\mathrm{d}=\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{t}}+\mathrm{c}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{a}+\mathrm{tc}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{dt}−\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{b}=−\mathrm{d} \\ $$$$\mathrm{a}=−\mathrm{tc} \\ $$$$−\mathrm{tc}+\mathrm{d}+\mathrm{c}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{dt}+\mathrm{tc}−\mathrm{d}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{d}=\mathrm{c}\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{c}\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{tc}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{c}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}},\mathrm{d}=\frac{\mathrm{t}−\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}},\mathrm{a}=\frac{−\mathrm{t}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}},\mathrm{b}=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{t}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{f}'\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}}\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{−\mathrm{tx}+\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)}{\mathrm{tx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}}\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\mathrm{x}+\mathrm{t}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}}\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{−\mathrm{tx}}{\mathrm{tx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{t}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}}\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{tx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}}\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$+\frac{\mathrm{t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}}\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\underset{\mathrm{y}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{tx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{y}} =−\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{2}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{tx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{t}}}.\frac{\pi}{\mathrm{2}} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}=\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}.\left\{\frac{\pi}{\mathrm{2}}+\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right\}=\frac{\mathrm{4}\pi}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}'\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{2}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{t}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}}.\frac{\pi}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{t}}+\frac{\mathrm{t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}}.\frac{\mathrm{4}\pi}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{our}\:\mathrm{integral}\:\mathrm{is}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right),\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}=\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \mathrm{f}'\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}+\frac{\pi}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)\sqrt{\mathrm{t}}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{dt}+\frac{\mathrm{4}\pi}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \frac{\mathrm{2t}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{only}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:\mathrm{is}\:\mathrm{tricky} \\ $$$$\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}=\left(\mathrm{t}−\frac{\mathrm{1}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{t}−\frac{\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}}=\frac{−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{t}−\frac{\mathrm{1}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{t}−\frac{\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{dt}=−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}−\frac{\mathrm{1}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\mathrm{dt}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}−\frac{\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}=\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{j}=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}},\mathrm{f}=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{c}=\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{ft}}\mathrm{dt}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{jt}}\mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{u}=\mathrm{ft}\:\mathrm{in}\:\mathrm{firt}\:,\mathrm{jt}=\mathrm{s}\:\mathrm{in}\:\mathrm{2nd} \\ $$$$\mathrm{c}=\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{j}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2f}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{u}\right)+\mathrm{ln}\left(\mathrm{j}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{u}}\mathrm{du}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{f}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2j}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{s}\right)+\mathrm{ln}\left(\mathrm{f}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{s}}\mathrm{ds} \\ $$$$\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}−\mathrm{z}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\mathrm{dt}=\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{z}\right) \\ $$$$\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2f}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{u}\right)+\mathrm{ln}\left(\mathrm{j}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{u}}\mathrm{du}=\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{2f}\right)−\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\right)−\mathrm{log}\left(\mathrm{j}\right)\mathrm{log}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2f}\right) \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2j}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{s}\right)+\mathrm{ln}\left(\mathrm{f}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{s}}=\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{2j}\right)−\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\right)−\mathrm{log}\left(\mathrm{f}\right)\mathrm{log}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2j}\right) \\ $$$$\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{dt}=\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\left\{\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)−\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}\mathrm{Log}\left(−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right\}\right. \\ $$$$−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\left\{\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)−\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}\mathrm{log}\left(\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)\right\} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 07/Nov/19
thankx sir.
$${thankx}\:{sir}. \\ $$
Commented by mind is power last updated on 07/Nov/19
y′re welcom sir
$$\mathrm{y}'\mathrm{re}\:\mathrm{welcom}\:\mathrm{sir} \\ $$
Commented by aliesam last updated on 15/Dec/19
I didn′t get the first step where you factor −(dx/x^2 ) i mean the ln part
$${I}\:{didn}'{t}\:{get}\:{the}\:{first}\:{step}\:{where}\:{you}\:{factor}\:−\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$${i}\:{mean}\:{the}\:{ln}\:{part} \\ $$$$ \\ $$
Commented by aliesam last updated on 15/Dec/19
I mean ∫_0 ^∞ ((ln(2+x^2 ))/(x^2 −x+1))=∫_∞ ^0 ((ln(2+(1/x^2 )))/((1/x^2 )−(1/x)+1)) . ((−dx)/x^2 ) ??
$${I}\:{mean} \\ $$$$ \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{{ln}\left(\mathrm{2}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}=\int_{\infty} ^{\mathrm{0}} \frac{{ln}\left(\mathrm{2}+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\right)}{\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\mathrm{1}}\:.\:\frac{−{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:\:??\: \\ $$$$ \\ $$

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