Question Number 136034 by mathmax by abdo last updated on 18/Mar/21
$$\mathrm{calculate}\:\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$ \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 19/Mar/21
$$\Phi\:=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\Phi=\mathrm{Re}\left(\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2ix}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\right) \\ $$$$\mathrm{let}\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2iz}} }{\mathrm{z}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\:\mathrm{poles}\:\mathrm{of}\:\varphi? \\ $$$$\mathrm{z}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{u}\:+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\:\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} =\mathrm{u}\right) \\ $$$$\Delta=−\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{u}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{2i}\pi}{\mathrm{3}}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{u}_{\mathrm{2}} =\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{2i}\pi}{\mathrm{3}}} \\ $$$$\Rightarrow\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2iz}} }{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{2i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{2i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)}\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2iz}} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)} \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty\:} \varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\:\left(\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\:+\mathrm{Res}\left(\varphi,−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\right) \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2ie}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} } }{\mathrm{2e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \left(\mathrm{2isin}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\right)\right)}\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2i}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)} }{\mathrm{4i}.\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}} .\mathrm{e}^{\mathrm{i}−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}} \:.\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{2i}\pi}{\mathrm{3}}} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\:=\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{2ie}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} } }{−\mathrm{2e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \left(−\mathrm{2isin}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\right)\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{2i}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)} }{\mathrm{4i}.\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\:.\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}}.\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}} \:.\mathrm{e}^{−\mathrm{i}+\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}} \:.\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{2i}\pi}{\mathrm{3}}} \:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{R}} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}} \left\{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{2i}\pi}{\mathrm{3}}} \:+\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{2i}\pi}{\mathrm{3}}} \right\} \\ $$$$=\frac{\pi}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}} \:.\left(\mathrm{2cos}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\right)\right)\:=−\frac{\pi}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}\:}\:} \:\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:=−\frac{\pi}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$