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calculate-f-a-0-1-ln-1-ax-3-dx-with-0-lt-a-lt-1-

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Question Number 78266 by msup trace by abdo last updated on 15/Jan/20
calculate f(a)=∫_0 ^1 ln(1−ax^3 )dx with 0<a<1
$${calculate}\:{f}\left({a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {ln}\left(\mathrm{1}−{ax}^{\mathrm{3}} \right){dx} \\ $$$${with}\:\mathrm{0}<{a}<\mathrm{1} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 18/Jan/20
f(a) =∫_0 ^1 ln(1−(^3 (√a)x)^3 )dx =_((^3 (√a)x)=t) ∫_0 ^((^3 (√a))) ln(1−t^3 )(dt/((^3 (√a)))) =(1/((^3 (√a)))) ∫_0 ^((^3 (√a))) ln(1−t^3 )dt we have ln(1−u))^((1)) =−(1/(1−u)) =−Σ_(n=0) ^∞ u^n ⇒ln(1−u) =−Σ_(n=0) ^∞ (u^(n+1) /(n+1)) =−Σ_(n=1) ^∞ (u^n /n) we have 0<(^3 (√a))<1 ⇒ln(1−t^3 )=−Σ_(n=1) ^∞ (t^(3n) /n) ⇒ ∫_0 ^((^3 (√a))) ln(1−t^3 )dt =−Σ_(n=1) ^∞ (1/n) ∫_0 ^((^3 (√a))) t^(3n) dt =−Σ_(n=1) ^∞ (1/(n(3n+1)))[ t^(3n+1) ]_0 ^((^3 (√a))) =−Σ_(n=1) ^∞ (((^3 (√a))a^n )/(n(3n+1))) ⇒ f(a) =−Σ_(n=1) ^∞ (a^n /(n(3n+1))) ⇒−(1/3)f(a) =Σ_(n=1) ^∞ (a^n /(3n(3n+1))) =Σ_(n=1) ^∞ ((1/(3n))−(1/(3n+1)))a^n =(1/3)Σ_(n=1) ^∞ (a^n /n)−Σ_(n=1) ^∞ (a^n /(3n+1)) =−(1/3)ln(1−a)−Σ_(n=1) ^∞ (a^n /(3n+1)) Σ_(n=1) ^∞ (a^n /(3n+1)) =Σ_(n=1) ^∞ ((((^3 (√a))^(3n+1) )/(3n+1)))×(1/((^3 (√a)))) =(1/((^3 (√a))))W(^3 (√a)) with w(x)=Σ_(n=1) ^∞ (x^(3n+1) /(3n+1)) ⇒w^′ (x)=Σ_(n=1) ^∞ x^(3n) =(1/(1−x^3 ))−1 ⇒ w(x)=∫_0 ^x ((1/(1−t^3 ))−1)dt +c =−x +∫_0 ^x (dt/((1−t^3 ))) =−x−∫_0 ^x (dt/(t^3 −1)) let decompose F(t) =(1/(t^3 −1)) =(1/((t−1)(t^2 +t+1))) F(t)=(a/(t−1)) +((bt+c)/(t^2 +t +1))
$${f}\left({a}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {ln}\left(\mathrm{1}−\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{{a}}{x}\right)^{\mathrm{3}} \right){dx}\:=_{\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{{a}}{x}\right)={t}} \:\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{{a}}\right)} {ln}\left(\mathrm{1}−{t}^{\mathrm{3}} \right)\frac{{dt}}{\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{{a}}\right)} \\ $$$$\left.=\frac{\mathrm{1}}{\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{{a}}\right)}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{{a}}\right)} {ln}\left(\mathrm{1}−{t}^{\mathrm{3}} \right){dt}\:\:{we}\:{have}\:{ln}\left(\mathrm{1}−{u}\right)\right)^{\left(\mathrm{1}\right)} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{u}} \\ $$$$=−\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} {u}^{{n}} \:\Rightarrow{ln}\left(\mathrm{1}−{u}\right)\:=−\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{u}^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}+\mathrm{1}}\:=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{u}^{{n}} }{{n}} \\ $$$${we}\:{have}\:\mathrm{0}<\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{{a}}\right)<\mathrm{1}\:\Rightarrow{ln}\left(\mathrm{1}−{t}^{\mathrm{3}} \right)=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{t}^{\mathrm{3}{n}} }{{n}}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{{a}}\right)} {ln}\left(\mathrm{1}−{t}^{\mathrm{3}} \right){dt}\:=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{{a}}\right)} \:{t}^{\mathrm{3}{n}} \:{dt} \\ $$$$=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}\left(\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}\right)}\left[\:{t}^{\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{{a}}\right)} \:=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{{a}}\right){a}^{{n}} }{{n}\left(\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow \\ $$$${f}\left({a}\right)\:=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{a}^{{n}} }{{n}\left(\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{f}\left({a}\right)\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{a}^{{n}} }{\mathrm{3}{n}\left(\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{n}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}}\right){a}^{{n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{a}^{{n}} }{{n}}−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{a}^{{n}} }{\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{ln}\left(\mathrm{1}−{a}\right)−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{a}^{{n}} }{\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}}\:\: \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{a}^{{n}} }{\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}}\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(\frac{\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{{a}}\right)^{\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}}\right)×\frac{\mathrm{1}}{\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{{a}}\right)}\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{{a}}\right)}{W}\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{{a}}\right)\:{with} \\ $$$${w}\left({x}\right)=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow{w}^{'} \left({x}\right)=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:{x}^{\mathrm{3}{n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$${w}\left({x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{{x}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{t}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{1}\right){dt}\:+{c}\:=−{x}\:+\int_{\mathrm{0}} ^{{x}} \:\frac{{dt}}{\left(\mathrm{1}−{t}^{\mathrm{3}} \right)}\:=−{x}−\int_{\mathrm{0}} ^{{x}} \:\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}} \\ $$$${let}\:{decompose}\:{F}\left({t}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\left({t}−\mathrm{1}\right)\left({t}^{\mathrm{2}} \:+{t}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$${F}\left({t}\right)=\frac{{a}}{{t}−\mathrm{1}}\:+\frac{{bt}+{c}}{{t}^{\mathrm{2}} \:+{t}\:+\mathrm{1}} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 18/Jan/20
a =(t−1)F(t)∣_(t=1) =(1/3) lim_(t→+∞) tF(t) =0 =a+b ⇒b =−(1/3) F(0)=−a +c =−1 ⇒c =a−1 =(1/3)−1 =−(2/3) ⇒ F(t)=(1/(3(t−1))) −(1/3)((t+2)/(t^2 +t +1)) ⇒ ∫ F(t)dt =(1/3)ln∣t−1∣−(1/6)∫((2t+1+3)/(t^2 +t+1))dt =(1/3)ln∣t−1∣−(1/6)ln(t^2 +t +1)−(1/2) ∫ (dt/(t^2 +t +1)) ∫ (dt/(t^2 +t +1)) =∫ (dt/((t+(1/2))^2 +(3/4))) =_(t+(1/2)=((√3)/2)u) (4/3) ∫ (1/(u^2 +1))×((√3)/2)du =(2/( (√3))) arctan(((2t+1)/( (√3)))) ⇒∫_0 ^x F(t)dt =[(1/3)ln∣t−1∣−(1/6)ln(t^2 +t +1)]_0 ^x −(1/( (√3)))[ arctan(((2t+1)/( (√3))))]_0 ^x =(1/3)ln∣x−1∣−(1/6)ln(x^2 +x+1) −(1/( (√3))){ arctan(((2x+1)/( (√3))))−arctan((1/( (√3)))) ⇒ w(x)=x−(1/3)ln∣x−1∣+(1/6)ln(x^2 +x+1)+(1/( (√3))){ arctan(((2x+1)/( (√3))))−(π/6)} ⇒f(a)=−(1/3)ln(1−a)−(1/((^3 (√a))))w(^3 (√a)) f(a) =−(1/3)ln(1−a)−(1/((^3 (√a)))){^3 (√a)−(1/3)ln∣^3 (√a)−1∣+(1/6)ln((^3 (√a))^2 +^3 (√a)+1) +(1/( (√3))) arctan(((2(^3 (√a))+1)/( (√3))))−(π/(6(√3)))}
$${a}\:=\left({t}−\mathrm{1}\right){F}\left({t}\right)\mid_{{t}=\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$${lim}_{{t}\rightarrow+\infty} {tF}\left({t}\right)\:=\mathrm{0}\:={a}+{b}\:\Rightarrow{b}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$${F}\left(\mathrm{0}\right)=−{a}\:+{c}\:=−\mathrm{1}\:\Rightarrow{c}\:={a}−\mathrm{1}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\mathrm{1}\:=−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\:\Rightarrow \\ $$$${F}\left({t}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\left({t}−\mathrm{1}\right)}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\frac{{t}+\mathrm{2}}{{t}^{\mathrm{2}} \:+{t}\:+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\:\int\:{F}\left({t}\right){dt}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{ln}\mid{t}−\mathrm{1}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int\frac{\mathrm{2}{t}+\mathrm{1}+\mathrm{3}}{{t}^{\mathrm{2}} \:+{t}+\mathrm{1}}{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{ln}\mid{t}−\mathrm{1}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{ln}\left({t}^{\mathrm{2}} \:+{t}\:+\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int\:\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} \:+{t}\:+\mathrm{1}} \\ $$$$\int\:\:\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} \:+{t}\:+\mathrm{1}}\:=\int\:\:\frac{{dt}}{\left({t}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}\:=_{{t}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}{u}} \:\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\:\int\:\:\frac{\mathrm{1}}{{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}×\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}{du} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:{arctan}\left(\frac{\mathrm{2}{t}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\:\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{{x}} \:{F}\left({t}\right){dt}\:=\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{ln}\mid{t}−\mathrm{1}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{ln}\left({t}^{\mathrm{2}} \:+{t}\:+\mathrm{1}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{{x}} \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left[\:{arctan}\left(\frac{\mathrm{2}{t}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{{x}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{ln}\mid{x}−\mathrm{1}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{ln}\left({x}^{\mathrm{2}} \:+{x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left\{\:{arctan}\left(\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)−{arctan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\:\Rightarrow\right. \\ $$$${w}\left({x}\right)={x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{ln}\mid{x}−\mathrm{1}\mid+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{ln}\left({x}^{\mathrm{2}} \:+{x}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left\{\:{arctan}\left(\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)−\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right\} \\ $$$$\Rightarrow{f}\left({a}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{ln}\left(\mathrm{1}−{a}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{{a}}\right)}{w}\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{{a}}\right) \\ $$$${f}\left({a}\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{ln}\left(\mathrm{1}−{a}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{{a}}\right)}\left\{\:^{\mathrm{3}} \sqrt{{a}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{ln}\mid^{\mathrm{3}} \sqrt{{a}}−\mathrm{1}\mid+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}{ln}\left(\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{{a}}\right)^{\mathrm{2}} \:+^{\mathrm{3}} \sqrt{{a}}+\mathrm{1}\right)\right. \\ $$$$\left.+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:{arctan}\left(\frac{\mathrm{2}\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{{a}}\right)+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)−\frac{\pi}{\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{3}}}\right\} \\ $$
Answered by mind is power last updated on 15/Jan/20
ln(1−ax^3 )= ln(1−ax^3 )=−Σ_(k≥1) ((a^k x^(3k) )/k) f(a)=−∫_0 ^1 Σ_(k≥1) (a^k /k).x^(3k) dx =−Σ_(k≥1) (a^k /(k(3k+1))) =−(1/3){Σ_(k≥1) (a^k /k)−Σ_(k≥1) (a^(3k) /(3k+1))} =−(1/3)Σ_(k≥1) (a^k /k)+(1/3)Σ_(k≥1) (a^(3k) /(3k+1)) =((ln(1−a))/3)+(1/(3a)).Σ_(k≥1) (a^(3k+1) /(3k+1)) g(a)=Σ_(k≥1) (a^(3k+1) /(3k+1))⇒g′(a)=Σ_(k≥1) a^(3k) =(a^3 /(1−a^3 )) g(a)=∫_0 ^a (x^3 /(1−x^3 ))dx=∫_0 ^a (−1+(1/(1−x^3 )))dx =−a+∫_0 ^a (dx/((1−x)(1+x+x^2 )))=−a+∫_0 ^a (1/3){(1/((1−x)))+((x+2)/(1+x+x^2 ))}dx =−a+(1/3)∫_0 ^a ((1/(1−x))+((x+(1/2))/(1+x+x^2 ))+(3/2).(1/((x+(1/2))^2 +(3/4))))dx =−a+((ln(1−a))/3)+(1/6)ln(1+a+a^2 )+(2/3)∫_0 ^a (dx/((((2x+1)/( (√3))))^2 +1)) g(a)=−a+((ln(1−a))/3)+((ln(1+a+a^2 ))/6)+(1/( (√3))){arctan(((2a+1)/( (√3))))−(π/6)} f(a)=((ln(1−a))/3)+(1/(3a))g(a) =−(1/3)+(1/(3a))(aln(1−a)+ln(1−a))+((ln(1+a+a^2 ))/(18a))+(1/(3a(√3))){arctan(((2a+1)/( (√3))))−(π/6)}
$$\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{ax}^{\mathrm{3}} \right)= \\ $$$$\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{ax}^{\mathrm{3}} \right)=−\underset{\mathrm{k}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{k}} \mathrm{x}^{\mathrm{3k}} }{\mathrm{k}} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \underset{\mathrm{k}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}}.\mathrm{x}^{\mathrm{3k}} \mathrm{dx} \\ $$$$=−\underset{\mathrm{k}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}\left(\mathrm{3k}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left\{\underset{\mathrm{k}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}}−\underset{\mathrm{k}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{3k}} }{\mathrm{3k}+\mathrm{1}}\right\} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\underset{\mathrm{k}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\underset{\mathrm{k}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{3k}} }{\mathrm{3k}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}\right)}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3a}}.\underset{\mathrm{k}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{3k}+\mathrm{1}} }{\mathrm{3k}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{a}\right)=\underset{\mathrm{k}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{3k}+\mathrm{1}} }{\mathrm{3k}+\mathrm{1}}\Rightarrow\mathrm{g}'\left(\mathrm{a}\right)=\underset{\mathrm{k}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\mathrm{a}^{\mathrm{3k}} =\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\mathrm{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} \left(−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=−\mathrm{a}+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} \frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}=−\mathrm{a}+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left\{\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}+\frac{\mathrm{x}+\mathrm{2}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right\}\mathrm{dx} \\ $$$$=−\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}.\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=−\mathrm{a}+\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}\right)}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} \frac{\mathrm{dx}}{\left(\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{a}\right)=−\mathrm{a}+\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}\right)}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{6}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left\{\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{2a}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)−\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right\} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}\right)}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3a}}\mathrm{g}\left(\mathrm{a}\right) \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3a}}\left(\mathrm{aln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}\right)+\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}\right)\right)+\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{18a}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3a}\sqrt{\mathrm{3}}}\left\{\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{2a}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)−\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right\} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Commented by msup trace by abdo last updated on 15/Jan/20
thank you sir.
$${thank}\:{you}\:{sir}. \\ $$
Commented by mind is power last updated on 15/Jan/20
y′re welcom
$$\mathrm{y}'\mathrm{re}\:\mathrm{welcom} \\ $$

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