Question Number 66444 by ~ À ® @ 237 ~ last updated on 15/Aug/19
$$\:{calculate}\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\:\left({x}!\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{x}}} \:\:\:\:\:\:\:{if}\:\:\:\:\:{x}!=\Pi\left({x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} {t}^{{x}} \:{e}^{−{t}} {dt} \\ $$
Commented by ~ À ® @ 237 ~ last updated on 18/Aug/19
$$\:{let}\:{named}\:{it}\:{L} \\ $$$${we}\:{know}\:{that}\:{L}>\mathrm{0} \\ $$$${So}\:\:\:\:\:\:\:\:\:{ln}\left({L}\right)=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:{ln}\left[\left({x}!\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{x}}} \right]=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{{ln}\left({x}!\right)}{{x}} \\ $$$${as}\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:{ln}\left({x}!\right)=\:{ln}\left(\Pi\left(\mathrm{0}\right)\right)={ln}\left(\Gamma\left(\mathrm{1}\right)\right)={ln}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}\:\:,\:\:{we}\:{can}\:{use}\:{the}\:{Hospital}\:{Rule} \\ $$$${Then}\:\:{ln}\left({L}\right)=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\frac{\prod^{'} \left({x}\right)}{\Pi\left({x}\right)}}{\mathrm{1}}\:=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} {t}^{{x}} {lnt}\:{e}^{−{t}} \:{dt}}{\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} {t}^{{x}} \:{e}^{−{t}} \:{dt}\:}\:=\:\frac{\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−{t}} {lntdt}}{\int_{\mathrm{0}\:} ^{\infty} {e}^{−{t}} {dt}}\:=\:\int_{\mathrm{0}_{} } ^{\infty} {e}^{−{t}} {lnt}\:{dt}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{because}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−{t}} {dt}\:=\:\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\left(\mathrm{1}−{e}^{−{x}} \right)=\mathrm{1}\:\: \\ $$$${Now}\:{we}\:{have}\: \\ $$$${ln}\left({L}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−{t}} {lnt}\:{dt}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\left(\mathrm{1}−\frac{{t}}{{n}}\right)^{{n}} {lnt}\:{dt}=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:{J}_{{n}} \:\:\:\:\:\:\:{with}\:\:{J}_{{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{{n}} \left(\mathrm{1}−\frac{{t}}{{n}}\right)^{{n}} {lnt}\:{dt}\: \\ $$$${let}\:{explicit}\:{J}_{{n}\:} {in}\:{terms}\:{of}\:{n} \\ $$$${For}\:{that}\:,\:{let}\:{named}\:\:{u}=\mathrm{1}−\frac{{t}}{{n}}\:\:\Leftrightarrow\:{t}={n}\left(\mathrm{1}−{u}\right)\:\Rightarrow\:{dt}=−{ndu} \\ $$$${J}_{{n}} \:=\:{n}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:{u}^{{n}} {ln}\left({n}\left(\mathrm{1}−{u}\right)\right){du}=\:{n}\:{ln}\left({n}\right)\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {u}^{{n}} {du}\:+{n}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {u}^{{n}} {ln}\left(\mathrm{1}−{u}\right){du}\:=\frac{{nln}\left({n}\right)}{{n}+\mathrm{1}}\:+\:{n}\:{K}_{{n}} \: \\ $$$${In}\:{the}\:{way}\:{to}\:{find}\:{K}_{{n}} \:\:,\:{we}\:{ascertain}\:{that} \\ $$$$\:{u}^{{n}} {ln}\left(\mathrm{1}−{u}\right)+\:\frac{{u}^{{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({u}−\mathrm{1}\right)}\:=\:\frac{{d}}{{du}}\left[\frac{{u}^{{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\:{ln}\left(\mathrm{1}−{u}\right)\right] \\ $$$${So}\:\:{we}\:{have} \\ $$$${K}_{{n}} \:=\:\left[\frac{{u}^{{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\:{ln}\left(\mathrm{1}−{u}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{u}^{{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}}{{u}−\mathrm{1}}\:{du} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\left(\mathrm{1}+{u}+{u}^{\mathrm{2}} +….+{u}^{{n}} \right){du}\:\:\:\:\:\:\:{cause}\:\underset{{u}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\left({u}^{{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right){ln}\left(\mathrm{1}−{u}\right)=\underset{{u}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:−\left(\mathrm{1}+{u}+….+{u}^{{n}} \right)\left(\mathrm{1}−{u}\right){ln}\left(\mathrm{1}−{u}\right)=\mathrm{0}\:\:\:\left(\:{when}\:{knowing}\:{that}\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:{xlnx}\:=\mathrm{0}\:\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\frac{−\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\:\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {u}^{{k}} \:{du}\:=\:\frac{−\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\:\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{1}}\:=\frac{−\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}+\mathrm{1}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}\: \\ $$$${Then}\:{we}\:{reach}\:{at}\: \\ $$$${J}_{{n}} =\:\frac{{n}}{{n}+\mathrm{1}}\:{ln}\left({n}\right)\:−\frac{{n}}{{n}+\mathrm{1}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}+\mathrm{1}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}\:=\:\frac{{n}}{{n}+\mathrm{1}}\left[{ln}\left({n}\right)−{H}_{{n}+\mathrm{1}} \right]\:\:\:\:\:{with}\:\:{H}_{{n}} =\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}\:\:\:\:\:{we}\:{have}\:\:{H}_{{n}+\mathrm{1}} =\:{H}_{{n}} \:+\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\: \\ $$$${Using}\:{that}\:\:{we}\:{get} \\ $$$${J}_{{n}} =\:\frac{{n}}{{n}+\mathrm{1}}\left[\:\:{ln}\left({n}\right)\:−{H}_{{n}} \:−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right]\:=\:−\frac{{n}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:−\frac{{n}}{{n}+\mathrm{1}}\left[\:{H}_{{n}} −{ln}\left({n}\right)\right] \\ $$$${So}\: \\ $$$${ln}\left({L}\right)\:=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:{J}_{{n}} \:=\:\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\:\frac{−{n}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:−\:\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{{n}}{{n}+\mathrm{1}}\:.\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\left({H}_{{n}} \:−{ln}\left({n}\right)\right)=\:−\gamma\:\:\:\:\:\:\left(\:{The}\:{Euler}'{s}\:{constant}\:\right) \\ $$$${Finally}\:\:\: \\ $$$$\:\:\:{L}=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\left({x}!\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{x}}} \:=\:{e}^{−\gamma} \:. \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$