calculate-n-0-1-n-2-1-and-n-0-1-n-n-2-1-

Question Number 67559 by Abdo msup. last updated on 28/Aug/19

c a l c u l a t e \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1} a n d \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2} + 1}

Commented by ~ À ® @ 237 ~ last updated on 28/Aug/19

l e t n a m e d f (a) = \underset{n = 0}{\sum^{\infty}} \frac{1}{n^{2} + a^{2}} a n d g (a) = \underset{n = 0}{\sum^{\infty}} \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2} + a^{2}}

f (a) = \frac{1}{2} \underset{- \infty}{\sum^{\infty}} \frac{1}{n^{2} + a^{2}} = - \frac{1}{2} [R e s (A (z), i a) + R e s (A (z), - i a)] w i t h A (z) = \frac{π c o t (π z)}{z^{2} + 1} (t h a t f o r m u l a c o m e s f r o m t h e R e s i d u t h e o r e m \dots

R e s (A (z), i a) = \frac{π c o t (i π a)}{2 i a} = - \frac{π c o t h (π a)}{2 a} c a u s e t a n x = - i t h (i x) \Rightarrow c o t (x) = i c o t h (i x)

R e s (A (z), - i a) = \frac{π c o t (- i π a)}{- 2 i a} = - \frac{π c o t h (π a)}{2 a}

S o f (a) = \frac{π}{2 a} c o t h (π a)

g (a) = \frac{1}{2} \underset{- \infty}{\sum^{\infty}} \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2} + a^{2}} = - \frac{1}{2} [R e s (B, i a) + R e s (B, - i a)] w i t h B (z) = \frac{π c s c (π z)}{z^{2} + 1} = \frac{π}{(z^{2} + 1) s i n (π z)}

R e s (B, i a) = \frac{π}{2 i a s i n (i π a)} = \frac{π}{2 i a (\frac{e^{- π a} - e^{π a}}{2 i})} = \frac{π}{- 2 a s h (π a)}

R e s (B, - i a) = \frac{π}{- 2 i a s i n (- i π a)} = \frac{π}{- 2 a s h (π a)}

S o g (a) = \frac{π}{2 a s h (π a)}

Commented by mathmax by abdo last updated on 28/Aug/19

t h a n k y o u s i r .

Commented by mathmax by abdo last updated on 29/Aug/19

w e h a v e p r o v e d t b a t e^{- ∣ x ∣} = \frac{1 - e^{- π}}{π} + \frac{2}{π} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(1 - {(- 1)}^{n} e^{- π})}{1 + n^{2}} c o s (n x)

(d e v e l o p p e m e n t a t f o u r i e r s e r i e)

x = 0 \Rightarrow 1 = \frac{1 - e^{- π}}{π} + \frac{2}{π} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1} - \frac{2}{π} e^{- π} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2} + 1}

\Rightarrow π = 1 - e^{- π} + 2 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1} - 2 e^{- π} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2} + 1}

x = π \Rightarrow e^{- π} = \frac{1 - e^{- π}}{π} + \frac{2}{π} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(1 - {(- 1)}^{n} e^{- π})}{n^{2} + 1} {(- 1)}^{n} \Rightarrow

e^{- π} = \frac{1 - e^{- π}}{π} + \frac{2}{π} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2} + 1} - \frac{2}{π} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{e^{- π}}{n^{2} + 1} \Rightarrow

π e^{- π} = 1 - e^{- π} + 2 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2} + 1} - 2 e^{- π} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1}

l e t x = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1} a n d y = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2} + 1} w e g e t

π = 1 - e^{- π} + 2 x - 2 e^{- π} y a n d π e^{- π} = 1 - e^{- π} + 2 y - 2 e^{- π} x \Rightarrow

{\begin{cases} 2 x - 2 e^{- π} y = π - 1 + e^{- π} \\ - 2 e^{- π} x + 2 y = π e^{- π} - 1 + e^{- π} \end{cases}

Δ = | \begin{matrix} 2 - 2 e^{- π} \\ - 2 e^{- π} 2 \end{matrix} | = 4 - 4 e^{- 2 π} \neq 0 \Rightarrow

Δ_{x} = | \begin{matrix} π - 1 + e^{- π} - 2 e^{- π} \\ π e^{- π} - 1 + e^{- π} 2 \end{matrix} | = 2 π - 2 + 2 e^{- π} + 2 e^{- π} (π e^{- π} - 1 + e^{- π})

= 2 π - 2 + 2 e^{- π} + 2 π e^{- 2 π} - 2 e^{- π} + 2 e^{- 2 π}

= 2 π - 2 + 4 π e^{- 2 π}

Δ_{y} = | \begin{matrix} 2 π - 1 + e^{- π} \\ - 2 e^{- π} π e^{- π} - 1 + e^{- π} \end{matrix} | = 2 π e^{- π} - 2 + 2 e^{- π}

+ 2 e^{- π} (π - 1 + e^{- π}) = 2 π e^{- π} - 2 + 2 e^{- π} + 2 π e^{- π} - 2 e^{- π} + 2 e^{- 2 π}

= 4 π e^{- π} - 2 + 2 e^{- 2 π} \Rightarrow

x = \frac{Δ_{x}}{Δ} = \frac{2 π - 2 + 4 π e^{- 2 π}}{4 - 4 e^{- 2 π}} = \frac{π - 1 + 2 π e^{- 2 π}}{2 - 2 e^{- 2 π}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1}

y = \frac{Δ_{y}}{Δ} = \frac{4 π e^{- π} - 2 + 2 e^{- 2 π}}{4 - 4 e^{- 2 π}} = \frac{2 π e^{- π} - 1 + e^{- 2 π}}{2 - 2 e^{- 2 π}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2} + 1}

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 1} = 1 + x = 1 + \frac{π - 1 + 2 π e^{- 2 π}}{2 - 2 e^{- 2 π}}

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2} + 1} = 1 + y = 1 + \frac{2 π e^{- π} - 1 + e^{- 2 π}}{2 - 2 e^{- 2 π}}