Question Number 74887 by abdomathmax last updated on 03/Dec/19
$${calculate}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\left({n}+\mathrm{1}\right){n}^{\mathrm{3}} } \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 21/Dec/19
$${let}\:{decompose}\:{F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right){x}^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow{F}\left({x}\right)=\frac{{a}}{{x}}+\frac{{b}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{{c}}{{x}^{\mathrm{3}} }\:+\frac{{d}}{{x}+\mathrm{1}} \\ $$$${c}\:={x}^{\mathrm{3}} {F}\left({x}\right)\mid_{{x}=\mathrm{0}} \:\:=\mathrm{1} \\ $$$${d}=\left({x}+\mathrm{1}\right){F}\left({x}\right)\mid_{{x}=−\mathrm{1}} \:\:\:=−\mathrm{1}\:\Rightarrow{F}\left({x}\right)=\frac{{a}}{{x}}+\frac{{b}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}} \\ $$$${lim}_{{x}\rightarrow+\infty} {xF}\left({x}\right)=\mathrm{0}\:={a}−\mathrm{1}\:\Rightarrow{a}=\mathrm{1}\:\Rightarrow{F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:+\frac{{b}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}} \\ $$$${F}\left(\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:=\mathrm{1}+{b}+\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow{b}+\mathrm{2}\:=\mathrm{1}\:\Rightarrow{b}=−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$${F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{x}}−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\left({n}+\mathrm{1}\right){n}^{\mathrm{3}} }\:\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\:+\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}+\mathrm{1}}\:\:{we}\:{have} \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}\:=−{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\:=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{2}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}} \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{3}} }\:=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{3}\right)\:=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{3}\right)\:=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}+\mathrm{1}}\:=\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}\:−\mathrm{1}\:={ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$${S}\:=−{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right)−{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$=\mathrm{1}−\mathrm{2}{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right) \\ $$