Question Number 140636 by Mathspace last updated on 10/May/21
$${calculate}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 10/May/21
$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)}−\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}\right)−\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)}+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}−\mathrm{3}\Sigma\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)}+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{2}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}−\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}−\mathrm{3}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}−\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \mathrm{2}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}−\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+..\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+…\right) \\ $$$$=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}+\mathrm{3}{log}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{8}\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}−\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{1}−{log}\left(\mathrm{2}\right)\right) \\ $$$$=\frac{−\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}+\mathrm{2}{log}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{2}\pi−\mathrm{7} \\ $$$$ \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 11/May/21
$$\mathrm{let}\:\:\mathrm{S}=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{let}\:\mathrm{decompose} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{b}=\mathrm{1}\:\:,\mathrm{c}=−\mathrm{1}\:,\mathrm{d}\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}=\mathrm{8}\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \mathrm{xF}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0}\:=\mathrm{a}−\mathrm{1}+\mathrm{4}\:\Rightarrow\mathrm{a}=−\mathrm{3}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{S}=−\mathrm{3}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:+\mathrm{8}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\:=−\mathrm{log2} \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\:=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{2}\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}} \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}} \\ $$$$=−\left(−\mathrm{log2}\:+\mathrm{1}\right)\:=−\mathrm{1}+\mathrm{log2} \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\:=\frac{\pi}{\mathrm{4}}−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{S}=−\mathrm{3}\left(−\mathrm{log2}\right)−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:+\mathrm{1}−\mathrm{log2}\:+\mathrm{2}\pi−\mathrm{8} \\ $$$$=\mathrm{2log2}\:−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:+\mathrm{2}\pi−\mathrm{7} \\ $$