Question Number 70595 by mathmax by abdo last updated on 06/Oct/19
$${calculate}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 08/Oct/19
$${let}\:{S}\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:{let}\:{decompose}\:{F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} \left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$${F}\left({x}\right)=\frac{{a}}{{x}}+\frac{{b}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{{c}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{{d}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{{e}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$${b}=\mathrm{1}\:\:{and}\:{e}=\mathrm{1}\:\Rightarrow{F}\left({x}\right)=\frac{{a}}{{x}}\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{{c}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{d}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \:\:\:{xF}\left({x}\right)=\mathrm{0}={a}+{c}\:\Rightarrow{c}=−{a}\:\Rightarrow \\ $$$${F}\left({x}\right)=\frac{{a}}{{x}}+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{{a}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{{d}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$${F}\left(\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\:={a}+\mathrm{1}−\frac{{a}}{\mathrm{2}}\:+\frac{{d}}{\mathrm{4}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\:\Rightarrow\frac{{a}}{\mathrm{2}}\:+\frac{{d}}{\mathrm{4}}=−\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{2}{a}+{d}=−\mathrm{4} \\ $$$${F}\left(−\mathrm{2}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:=−\frac{{a}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:+{a}\:+{d}\:−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$−\mathrm{1}=−\mathrm{2}{a}+\mathrm{1}\:+\mathrm{4}{a}+\mathrm{4}{d}−\mathrm{4}\:\Rightarrow−\mathrm{1}=\mathrm{2}{a}+\mathrm{4}{d}−\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{2}{a}+\mathrm{4}{d}=\mathrm{2}\:\Rightarrow \\ $$$${a}+\mathrm{2}{d}=\mathrm{1}\:\Rightarrow{a}=\mathrm{1}−\mathrm{2}{d}\:\Rightarrow\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}{d}\right)+{d}=−\mathrm{4}\:\Rightarrow\mathrm{2}−\mathrm{3}{d}=−\mathrm{4}\:\Rightarrow \\ $$$$−\mathrm{3}{d}=−\mathrm{6}\:\Rightarrow{d}=\mathrm{2}\:\Rightarrow{a}=\mathrm{1}−\mathrm{4}=−\mathrm{3}\:\Rightarrow \\ $$$${F}\left({x}\right)=−\frac{\mathrm{3}}{{x}}\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{3}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{2}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow \\ $$$${S}=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {F}\left({n}\right)=−\mathrm{3}\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}\:+\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$+\mathrm{3}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}+\mathrm{1}}\:+\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}\:=−{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\:=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{2}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}} \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}+\mathrm{1}}\:=\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}−\mathrm{1}={ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}^{\mathrm{3}} }\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}^{\mathrm{3}} }\:−\mathrm{1} \\ $$$$=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{1}\:=−\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$=−\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{1}\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$${S}\:=\mathrm{3}{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:+\mathrm{3}{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{3}\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{1} \\ $$$${S}\:=\mathrm{6}{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{4}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:. \\ $$