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calculate-n-1-1-n-n-3-n-1-2-

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Question Number 72018 by mathmax by abdo last updated on 23/Oct/19
calculate Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(n^3 (n+1)^2 ))
$${calculate}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{3}} \left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 02/Nov/19
Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(n^3 (n+1)^2 )) =lim_(n→+∞) Σ_(k=1) ^n (((−1)^k )/(k^3 (k+1)^2 )) let decompose F(x)=(1/(x^3 (x+1)^2 )) ⇒F(x)=(a/x) +(b/x^2 ) +(c/x^3 ) +(d/(x+1)) +(e/((x+1)^2 )) c=lim_(x→0) x^3 F(x)=1 e=lim_(x→−1) (x+1)^2 F(x)=−1 ⇒ F(x)=(a/x) +(b/x^2 ) +(1/x^3 ) +(d/(x+1))−(1/((x+1)^2 )) lim_(x→+∞) xF(x) =0=a+d ⇒d=−a ⇒ F(x)=(a/x) +(b/x^2 ) +(1/x^3 )−(a/(x+1))−(1/((x+1)^2 )) F(1)=(1/4) =a+b+1−(a/2)−(1/4) ⇒1=4a+4b+4−2a−1 ⇒ 2a+4b+2=0 ⇒a+2b+1=0 ⇒a+2b=−1 F(−2)=(1/(−8)) =−(a/2) +(b/4)−(1/8)+a−1 ⇒(1/8)=−(a/2)−(b/4)+(1/8)+1 ⇒ 1=−4a−2b +1 +8 ⇒−4a−2b +8=0 ⇒2a+b=4 ⇒ 2(−2b−1)+b=4 ⇒−4b−2+b =4 ⇒−3b =6 ⇒b=−2 ⇒a=3 ⇒ F(x)=(3/x)−(2/x^2 )+(1/x^3 )−(3/(x+1))−(1/((x+1)^2 )) ⇒ S =3Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n)−2Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n^2 ) +Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n^3 )−3Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(n+1)) −Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/((n+1)^2 )) we have Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n) =−ln(2) Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n^2 ) =(2^(1−2) −1)ξ(2) (formula Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n^x )=(2^(1−x) −1)ξ(x)) =−(1/2)((π^2 /6))=−(π^2 /(12)) Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n^3 ) =(2^(1−3) −1)ξ(3)=((1/4)−1)ξ(3)=−(3/4)ξ(3) Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(n+1)) =Σ_(n=2) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n) =Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n)−1 =ln(2)−1 Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/((n+1)^2 )) =Σ_(n=2) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n^2 ) =Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/n^2 )−1 =(π^2 /(12))−1 ⇒ S =−3ln(2)−2(−(π^2 /(12)))−(3/4)ξ(3)−3(ln(2)−1)−((π^2 /(12))−1) =−6ln(2)+(π^2 /6)−(3/4)ξ(3) +4 −(π^2 /(12)) =−6ln(2)+(π^2 /(12)) +4−(3/4)ξ(3) ⇒ S =(π^2 /(12)) +4−(3/4)ξ(3)−6ln(2)
$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{3}} \left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:={lim}_{{n}\rightarrow+\infty} \:\:\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{{k}^{\mathrm{3}} \left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:{let}\:{decompose} \\ $$$${F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} \left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow{F}\left({x}\right)=\frac{{a}}{{x}}\:+\frac{{b}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{{c}}{{x}^{\mathrm{3}} }\:+\frac{{d}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{{e}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${c}={lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {x}^{\mathrm{3}} {F}\left({x}\right)=\mathrm{1} \\ $$$${e}={lim}_{{x}\rightarrow−\mathrm{1}} \left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} {F}\left({x}\right)=−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$${F}\left({x}\right)=\frac{{a}}{{x}}\:+\frac{{b}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }\:+\frac{{d}}{{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${lim}_{{x}\rightarrow+\infty} {xF}\left({x}\right)\:=\mathrm{0}={a}+{d}\:\Rightarrow{d}=−{a}\:\Rightarrow \\ $$$${F}\left({x}\right)=\frac{{a}}{{x}}\:+\frac{{b}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{{a}}{{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${F}\left(\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:={a}+{b}+\mathrm{1}−\frac{{a}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\Rightarrow\mathrm{1}=\mathrm{4}{a}+\mathrm{4}{b}+\mathrm{4}−\mathrm{2}{a}−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2}{a}+\mathrm{4}{b}+\mathrm{2}=\mathrm{0}\:\Rightarrow{a}+\mathrm{2}{b}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow{a}+\mathrm{2}{b}=−\mathrm{1} \\ $$$${F}\left(−\mathrm{2}\right)=\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{8}}\:=−\frac{{a}}{\mathrm{2}}\:+\frac{{b}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}+{a}−\mathrm{1}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}=−\frac{{a}}{\mathrm{2}}−\frac{{b}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}+\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{1}=−\mathrm{4}{a}−\mathrm{2}{b}\:+\mathrm{1}\:+\mathrm{8}\:\Rightarrow−\mathrm{4}{a}−\mathrm{2}{b}\:+\mathrm{8}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{2}{a}+{b}=\mathrm{4}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2}\left(−\mathrm{2}{b}−\mathrm{1}\right)+{b}=\mathrm{4}\:\Rightarrow−\mathrm{4}{b}−\mathrm{2}+{b}\:=\mathrm{4}\:\:\Rightarrow−\mathrm{3}{b}\:=\mathrm{6}\:\Rightarrow{b}=−\mathrm{2}\:\Rightarrow{a}=\mathrm{3}\:\Rightarrow \\ $$$${F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{3}}{{x}}−\frac{\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{3}}{{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$${S}\:=\mathrm{3}\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}−\mathrm{2}\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\:+\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{3}\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:{we}\:{have} \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}}\:=−{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\:=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{2}\right)\:\:\:\left({formula}\:\:\:\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{{x}} }=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−{x}} −\mathrm{1}\right)\xi\left({x}\right)\right) \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\right)=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}} \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{3}} }\:=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{3}\right)=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{3}\right)=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}+\mathrm{1}}\:=\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}}−\mathrm{1} \\ $$$$={ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{1} \\ $$$$=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$${S}\:=−\mathrm{3}{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{2}\left(−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\right)−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{3}\left({ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}\right)−\left(\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$=−\mathrm{6}{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right)\:+\mathrm{4}\:−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}} \\ $$$$=−\mathrm{6}{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:+\mathrm{4}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right)\:\Rightarrow \\ $$$${S}\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:+\mathrm{4}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\xi\left(\mathrm{3}\right)−\mathrm{6}{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$

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