Question Number 74884 by abdomathmax last updated on 03/Dec/19
$${calculate}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{20}} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$ \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 03/Dec/19
$${let}\:{S}=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{20}} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\:{S}\:=\sum_{{p}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{10}} \frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{p}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\sum_{{p}=\mathrm{0}} ^{\left[\frac{\mathrm{19}}{\mathrm{2}}\right]} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{p}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\sum_{{p}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{10}} \:\frac{\mathrm{1}}{{p}^{\mathrm{2}} }\:+\sum_{{p}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{9}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{p}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:{also} \\ $$$$\sum_{{p}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{10}} \:\frac{\mathrm{1}}{{p}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\sum_{{p}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{5}} \:\frac{\mathrm{1}}{{p}^{\mathrm{2}} }\:+\sum_{{p}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{p}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$${S}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\sum_{{p}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{5}} \:\frac{\mathrm{1}}{{p}^{\mathrm{2}} }\:+\sum_{{p}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{p}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right\}+\sum_{{p}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{p}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\sum_{{p}=\mathrm{5}} ^{\mathrm{9}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{p}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\sum_{{p}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{5}} \:\frac{\mathrm{1}}{{p}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}\:\sum_{{p}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{p}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\sum_{{p}=\mathrm{5}} ^{\mathrm{9}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{p}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:{we}\:{have} \\ $$$$\sum_{{p}=\mathrm{5}} ^{\mathrm{9}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{p}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=_{{p}−\mathrm{5}={k}} \:\:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{11}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$${S}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\sum_{{p}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{5}} \:\frac{\mathrm{1}}{{p}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}\sum_{{p}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{p}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\sum_{{p}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{p}+\mathrm{11}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{2}} }\right)+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{11}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{11}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{13}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{15}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{17}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{19}^{\mathrm{2}} } \\ $$$${S}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{25}}\right)+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{25}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{49}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{81}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{121}}\right) \\ $$$$+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{11}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{13}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{15}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{17}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{19}^{\mathrm{2}} }\:=….{its}\:{eazy}\:{now}\:{to}\:{find}\:{S}.. \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 05/Dec/19
$${another}\:{way}\:\:\:{let}\:\:{S}\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{20}} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$${S}\:=\:\sum_{{n}=\mathrm{1}_{{n}=\mathrm{3}{k}} } ^{\mathrm{20}} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\:+\sum_{{n}=\mathrm{1}_{{n}=\mathrm{3}{k}+\mathrm{1}} } ^{\mathrm{20}} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\:+\sum_{{n}=\mathrm{1}_{{n}=\mathrm{3}{k}+\mathrm{2}} } ^{\mathrm{20}} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\left[\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{3}}\right]} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}{n}^{\mathrm{2}} }\:+\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\left[\frac{\mathrm{19}}{\mathrm{3}}\right]} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{3}{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:+\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\left[\frac{\mathrm{18}}{\mathrm{3}}\right]} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{3}{k}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{6}} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\:+\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{6}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{3}{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{6}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{3}{k}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\left\{\:\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}^{\mathrm{2}} }\right\}\:+\left\{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{13}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{19}^{\mathrm{2}} }\right\} \\ $$$$+\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{11}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{14}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{17}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{20}^{\mathrm{2}} }\right\}\:=…. \\ $$$$ \\ $$