Question Number 69786 by mathmax by abdo last updated on 27/Sep/19
$${calculate}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 02/Oct/19
$${let}\:{S}_{{n}} =\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\frac{\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)}{{k}^{\mathrm{2}} \left({k}+\mathrm{1}\right)\left({k}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} \:\:\:{we}\:{have}\:{S}={lim}_{{n}\rightarrow+\infty} {S}_{{n}} \\ $$$${let}\:{decompose}\:{F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} \left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${F}\left({x}\right)=\frac{{a}}{{x}}+\frac{{b}}{{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{{c}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{{d}}{{x}+\mathrm{2}}\:+\frac{{e}}{\left({x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${b}\:={lim}_{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {x}^{\mathrm{2}} {F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$${e}\:={lim}_{{x}\rightarrow−\mathrm{2}} \:\:\left({x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} {F}\left({x}\right)\:=\frac{−\mathrm{3}}{−\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\:\Rightarrow \\ $$$${F}\left({x}\right)=\frac{{a}}{{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{{c}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{{d}}{{x}+\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}\left({x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${lim}_{{x}\rightarrow+\infty} {xF}\left({x}\right)=\mathrm{0}\:={a}+{c}+{d} \\ $$$${F}\left(\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{18}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\:={a}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:+\frac{{c}}{\mathrm{2}}\:+\frac{{d}}{\mathrm{3}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\:={a}+\frac{{c}}{\mathrm{2}}\:+\frac{{d}}{\mathrm{3}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{1}\:=\mathrm{6}{a}+\mathrm{3}{c}+\mathrm{2}{d}+\mathrm{2}\:\Rightarrow\mathrm{6}{a}+\mathrm{3}{c}+\mathrm{2}{d}=−\mathrm{1} \\ $$$${F}\left(−\mathrm{3}\right)\:=\frac{−\mathrm{5}}{\mathrm{9}\left(−\mathrm{2}\right)}\:=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{18}}\:=−\frac{{a}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{36}}−\frac{{c}}{\mathrm{2}}−{d}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}} \\ $$$$=−\frac{{a}}{\mathrm{3}}−\frac{{c}}{\mathrm{2}}−{d}\:+\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{9}}\:\Rightarrow\mathrm{5}=−\mathrm{6}{a}−\mathrm{9}{c}−\mathrm{18}{d}+\mathrm{14}\:\:\Rightarrow \\ $$$$−\mathrm{6}{a}−\mathrm{9}{c}−\mathrm{18}{d}\:=−\mathrm{9}\:\Rightarrow\mathrm{6}{a}+\mathrm{9}{c}+\mathrm{18}{d}\:=\mathrm{9}\:\Rightarrow\mathrm{2}{a}+\mathrm{3}{c}+\mathrm{6}{d}\:=\mathrm{3} \\ $$$${we}\:{get}\:{the}\:{system}\:\:\begin{cases}{{a}+{c}+{d}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{6}{a}+\mathrm{3}{c}+\mathrm{2}{d}\:=−\mathrm{1}}\end{cases} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left\{\mathrm{2}{a}+\mathrm{3}{c}+\mathrm{6}{d}\:=\mathrm{3}\:\Rightarrow{d}=−{a}−{c}\:{and}\right. \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{6}{a}+\mathrm{3}{c}+\mathrm{2}\left(−{a}−{c}\right)=−\mathrm{1}}\\{\mathrm{2}{a}+\mathrm{3}{c}+\mathrm{6}\left(−{a}−{c}\right)=\mathrm{3}\:\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{4}{a}+{c}=−\mathrm{1}}\\{−\mathrm{4}{a}−\mathrm{3}{c}\:=\mathrm{3}\:\Rightarrow−\mathrm{2}{c}=\mathrm{2}\:\Rightarrow{c}=−\mathrm{1}}\end{cases}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{4}{a}=−\mathrm{1}+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow{a}=\mathrm{0}\:\Rightarrow{d}=\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$${F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}\left({x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$${S}_{{n}} =\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} \:{F}\left({k}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{{k}^{\mathrm{2}} }−\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{{k}+\mathrm{1}}\:+\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{{k}+\mathrm{2}} \\ $$$$+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{\left({k}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\:{and}\:{lim}_{{n}\rightarrow+\infty} {S}_{{n}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{{k}^{\mathrm{2}} }−\sum_{{k}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}−\mathrm{1}} }{{k}}\:+\sum_{{k}=\mathrm{3}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}−\mathrm{2}} }{{k}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\sum_{{k}=\mathrm{3}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}−\mathrm{2}} }{{k}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{{k}^{\mathrm{2}} }\:=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{2}\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}} \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}−\mathrm{1}} }{{k}}\:=−\sum_{{k}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{{k}}\:=−\left(\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{{k}}\:+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=−\left(−{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}\right)\:={ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{3}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}−\mathrm{2}} }{{k}}\:=\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{{k}}\:\:−\left(−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=−{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{3}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}−\mathrm{2}} }{{k}^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{{k}^{\mathrm{2}} }−\left(−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$${S}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\right)−{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}−{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\left(−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{48}}−\mathrm{2}{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}−\frac{\mathrm{3}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{48}} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{4}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{48}}−\mathrm{2}{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{8}}\:=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}−\mathrm{2}{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{8}} \\ $$