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calculate-n-1-n-4-2n-2-3-x-n-n-in-case-of-convergence-

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Question Number 73261 by mathmax by abdo last updated on 09/Nov/19
calculate Σ_(n=1) ^∞ (n^4 +2n^2 −3)(x^n /(n!)) in case of convergence.
$${calculate}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left({n}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)\frac{{x}^{{n}} }{{n}!}\:{in}\:{case}\:{of}\:{convergence}. \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 09/Nov/19
we have Σ_(n=1) ^∞ (n^4 +2n^2 −3)(x^n /(n!)) =Σ_(n=1) ^∞ (n^3 /((n−1)!))x^n +2Σ_(n=1) ^∞ ((nx^n )/((n−1)!)) −3 Σ_(n=1) ^∞ (x^n /(n!)) we have first Σ_(n=1) ^∞ (x^n /(n!)) =e^x −1 Σ_(n=1) ^∞ ((nx^n )/((n−1)!)) =Σ_(n=0) ^∞ (((n+1)x^(n+1) )/(n!)) =Σ_(n=1) ^∞ (x^(n+1) /((n−1)!)) +Σ_(n=0) ^∞ (x^(n+1) /(n!)) =x Σ_(n=0) ^∞ (x^(n+1) /(n!)) +x e^x =x^2 e^x +xe^x Σ_(n=1) ^∞ (n^3 /((n−1)!))x^n =Σ_(n=0) ^∞ (((n+1)^3 )/(n!))x^(n+1) =Σ_(n=0) ^∞ ((n^3 +3n^2 +n +1)/(n!)) x^(n+1) =Σ_(n=1) ^∞ (n^2 /((n−1)!))x^(n+1) +3Σ_(n=1) ^∞ (n/((n−1)!))x^(n+1) +Σ_(n=0) ^∞ (x^(n+1) /((n−1)!)) +Σ_(n=0) ^∞ (x^(n+1) /(n!)) Σ_(n=1) ^∞ (n^2 /((n−1)!))x^(n+1) =Σ_(n=0) ^∞ (((n+1)^2 x^(n+2) )/(n!)) =Σ_(n=0) ^∞ ((n^2 +2n+1)/(n!)) x^(n+2) =Σ_(n=1) ^∞ (n/((n−1)!))x^(n+2) +2Σ_(n=1) ^∞ (1/((n−1)!))x^(n+2) +x^2 e^x =Σ_(n=0) ^∞ ((n+1)/(n!))x^(n+2) +2Σ_(n=0) ^∞ (x^(n+3) /(n!)) +x^2 e^x =Σ_(n=1) ^∞ (x^(n+2) /((n−1)!)) +x^2 e^x +2x^3 e^x +x^2 e^x =Σ_(n=0) ^∞ (x^(n+3) /(n!)) +2x^(2 ) e^x +2x^3 e^x =x^3 e^x +2x^3 e^x +2x^2 e^x =(3x^3 +2x^2 )e^x ...be continued...
$${we}\:{have}\:\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left({n}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)\frac{{x}^{{n}} }{{n}!}\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{{n}^{\mathrm{3}} }{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}{x}^{{n}} \:+\mathrm{2}\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{{nx}^{{n}} }{\left({n}−\mathrm{1}\right)!} \\ $$$$−\mathrm{3}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}} }{{n}!}\:\:{we}\:{have}\:{first}\:\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}} }{{n}!}\:={e}^{{x}} −\mathrm{1} \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{nx}^{{n}} }{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}\:=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\left({n}+\mathrm{1}\right){x}^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}!}\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}+\mathrm{1}} }{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}\:+\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}!} \\ $$$$={x}\:\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}!}\:+{x}\:{e}^{{x}} \:={x}^{\mathrm{2}} \:{e}^{{x}} \:+{xe}^{{x}} \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}{x}^{{n}} \:=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }{{n}!}{x}^{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} \:+{n}\:+\mathrm{1}}{{n}!}\:{x}^{{n}+\mathrm{1}} \:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}{x}^{{n}+\mathrm{1}} \:+\mathrm{3}\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{{n}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}{x}^{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$+\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}+\mathrm{1}} }{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}\:+\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}!} \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}{x}^{{n}+\mathrm{1}} \:=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:{x}^{{n}+\mathrm{2}} }{{n}!} \\ $$$$=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}{{n}!}\:{x}^{{n}+\mathrm{2}} \:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{n}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}{x}^{{n}+\mathrm{2}} +\mathrm{2}\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\mathrm{1}}{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}{x}^{{n}+\mathrm{2}} \\ $$$$+{x}^{\mathrm{2}} \:{e}^{{x}} \\ $$$$=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{n}+\mathrm{1}}{{n}!}{x}^{{n}+\mathrm{2}} \:\:+\mathrm{2}\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}+\mathrm{3}} }{{n}!}\:+{x}^{\mathrm{2}} \:{e}^{{x}} \\ $$$$=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}+\mathrm{2}} }{\left({n}−\mathrm{1}\right)!}\:+{x}^{\mathrm{2}} \:{e}^{{x}} \:+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} \:{e}^{{x}} \:+{x}^{\mathrm{2}} {e}^{{x}} \\ $$$$=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{x}^{{n}+\mathrm{3}} }{{n}!}\:+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}\:} {e}^{{x}} \:+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} \:{e}^{{x}} \\ $$$$={x}^{\mathrm{3}} {e}^{{x}} \:+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} \:{e}^{{x}} \:+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \:{e}^{{x}} \:=\left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} \right){e}^{{x}} \:…{be}\:{continued}… \\ $$
Answered by mind is power last updated on 09/Nov/19
use 1,x,x(x−1),x(x−1)(x−2),x(x−1)(x−2)(x−3) as Base of IR^4 [X] n^4 +2n^2 −3=an(n−1)(n−2)(n−3)+bn(n−1)(n−2)+cn(n−1)+dn+t Σ_(n≥1) (n^4 +2n^2 −3)(x^n /(n!))=Σ_(n≥4) (a(x^n /((n−4)!)))+bΣ_(n≥4) (x^n /((n−3))!))+cΣ_(n≥4) (x^n /((n−2)!))+dΣ_(n≥4) (x^n /((n−1)!))+tΣ_(n≥4) (x^n /(n!)) +{Σ_(n=1) ^3 (n^4 +2n^2 −3)(x^n /(n!))=h(x)} =ax^4 e^x +bx^3 (e^x −1)+cx^2 (e^x −1−x)+dx(e^x −1−x−(x^2 /2))+t(e^x −1−x−(x^2 /2)−(x^3 /6))+h(x)
$$\mathrm{use}\:\mathrm{1},\mathrm{x},\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right),\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right),\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{as}\:\mathrm{Base}\:\mathrm{of}\:\mathrm{IR}^{\mathrm{4}} \left[\mathrm{X}\right] \\ $$$$\mathrm{n}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}=\mathrm{an}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{n}−\mathrm{3}\right)+\mathrm{bn}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}−\mathrm{2}\right)+\mathrm{cn}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{dn}+\mathrm{t} \\ $$$$\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\left(\mathrm{n}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}!}=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{4}} {\sum}\left(\mathrm{a}\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{n}−\mathrm{4}\right)!}\right)+\mathrm{b}\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{4}} {\sum}\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\left.\left(\mathrm{n}−\mathrm{3}\right)\right)!}+\mathrm{c}\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{4}} {\sum}\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{n}−\mathrm{2}\right)!}+\mathrm{d}\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{4}} {\sum}\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)!}+\mathrm{t}\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{4}} {\sum}\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}!} \\ $$$$+\left\{\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{3}} {\sum}}\left(\mathrm{n}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}!}=\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)\right\} \\ $$$$=\mathrm{ax}^{\mathrm{4}} \mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\mathrm{bx}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}\right)+\mathrm{cx}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)+\mathrm{dx}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}−\mathrm{x}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{t}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}−\mathrm{x}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\right)+\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$ \\ $$

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