Question Number 73477 by abdomathmax last updated on 13/Nov/19
$${calculate}\:\int\:\:\:\frac{{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{5}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}\:+\mathrm{1}}{dx} \\ $$
Answered by MJS last updated on 13/Nov/19
$$\int\frac{{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{5}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}{dx}= \\ $$$$=\int{xdx}+\int{dx}−\mathrm{4}\int\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}{dx} \\ $$$$\int\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}{dx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)\:−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\mathrm{arctan}\:\frac{\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\int\frac{{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{5}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}{dx}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{2ln}\:\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)\:+\frac{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\mathrm{arctan}\:\frac{\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\:+{C} \\ $$