Question Number 133369 by mnjuly1970 last updated on 21/Feb/21
$$\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{calculus}\:\left(\mathrm{2}\right)….. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\phi}=\int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \left(\frac{{ln}\left(\frac{{x}+\mathrm{2}}{{x}+\mathrm{1}}\right)}{{x}}\right){dx}\:=??? \\ $$$$ \\ $$
Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 21/Feb/21
$$\frac{{log}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 21/Feb/21
$${correct}… \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 21/Feb/21
$$\Phi=\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{2}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{dx}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}=\mathrm{t}\:\Rightarrow \\ $$$$\Phi=\int_{\mathrm{1}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \mathrm{tln}\left(\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}+\mathrm{2}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}+\mathrm{1}}\right)\left(−\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)\:=\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2t}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2t}\right)}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}−\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:=\mathrm{H}−\mathrm{K} \\ $$$$\mathrm{K}\:=\left[\mathrm{lnt}.\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)\right]_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$=−\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)−\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:\mathrm{and} \\ $$$$\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:=\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{t}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\left[\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\mathrm{lnt}\right]_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}}\:=−\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{lnt}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:=\mathrm{ln2}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} .\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} } \\ $$$$\mathrm{rest}\:\mathrm{calculus}\:\mathrm{of}\:\mathrm{those}\:\mathrm{series}… \\ $$$$\mathrm{H}=\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2t}\right)}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:=_{\mathrm{2t}=\mathrm{y}} \:\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{y}\right)}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{2}} \\ $$$$=_{\mathrm{y}=\mathrm{u}+\mathrm{1}} \:\:\:\:\int_{\mathrm{o}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{u}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{u}+\mathrm{1}}\mathrm{du}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{2}+\mathrm{u}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{u}^{\mathrm{n}} \mathrm{du} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{u}^{\mathrm{n}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{2}+\mathrm{u}\right)\mathrm{du}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{v}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{n}} =\left[\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}+\mathrm{u}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{2}+\mathrm{u}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{3}\right)}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{u}+\mathrm{2}}\mathrm{du}\:=….\mathrm{be}\:\mathrm{continued}…. \\ $$
Answered by mnjuly1970 last updated on 22/Feb/21