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Calculus-i-1-0-1-ln-2-1-x-ln-x-x-dx-ii-2-0-1-ln-2-x-ln-1-x-x-dx-iii-3-0-1-ln-2-x-ln-1-x-x-dx-




Question Number 143508 by mnjuly1970 last updated on 15/Jun/21
          ..........Calculus........      i:   𝛗_1 :=∫_0 ^( 1) ((ln^2 (1βˆ’x).ln(x))/x)dx     ii:   𝛗_2 := ∫_0 ^( 1) ((ln^2 (x).ln(1βˆ’x))/x) dx    iii : 𝛗_3  :=∫_0 ^( 1) ((ln^2 (x).ln(1+x))/x)dx
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:……….{Calculus}…….. \\ $$$$\:\:\:\:{i}:\:\:\:\boldsymbol{\phi}_{\mathrm{1}} :=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}βˆ’{x}\right).{ln}\left({x}\right)}{{x}}{dx} \\ $$$$\:\:\:{ii}:\:\:\:\boldsymbol{\phi}_{\mathrm{2}} :=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{ln}^{\mathrm{2}} \left({x}\right).{ln}\left(\mathrm{1}βˆ’{x}\right)}{{x}}\:{dx} \\ $$$$\:\:{iii}\::\:\boldsymbol{\phi}_{\mathrm{3}} \::=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{ln}^{\mathrm{2}} \left({x}\right).{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)}{{x}}{dx} \\ $$
Answered by mindispower last updated on 15/Jun/21
Ξ¦_1 ,Ξ¦_2   can be found by betta function  Ξ¦_1 =(βˆ‚^3 Ξ²/(βˆ‚^2 yβˆ‚x))(0,1)...  Ξ¦_3 by part =[((ln^3 (x))/3)ln(1+x)]_0 ^1 βˆ’(1/3)∫_0 ^1 ((ln^3 (x))/(1+x))dx  =βˆ’(1/3)∫_0 ^∞ ((t^3 e^(βˆ’t) )/(1+e^(βˆ’t) ))dt=βˆ’(1/3)Ξ£_(mβ‰₯0) ∫_0 ^∞ t^3 (βˆ’1)^m e^(βˆ’(m+1)t) dt  =βˆ’(1/3)Ξ£_(mβ‰₯0) (((βˆ’1)^m )/((m+1)^4 ))∫_0 ^∞ t^3 e^(βˆ’t) dt  =βˆ’(1/3)Ξ£_(mβ‰₯0) (((βˆ’1)^m )/((m+1)^4 ))Ξ“(4)=βˆ’2Ξ£_(mβ‰₯0) (1βˆ’(1/2^3 ))ΞΆ(4)  =βˆ’(7/4)ΞΆ(4)
$$\Phi_{\mathrm{1}} ,\Phi_{\mathrm{2}} \:\:{can}\:{be}\:{found}\:{by}\:{betta}\:{function} \\ $$$$\Phi_{\mathrm{1}} =\frac{\partial^{\mathrm{3}} \beta}{\partial^{\mathrm{2}} {y}\partial{x}}\left(\mathrm{0},\mathrm{1}\right)… \\ $$$$\Phi_{\mathrm{3}} {by}\:{part}\:=\left[\frac{{ln}^{\mathrm{3}} \left({x}\right)}{\mathrm{3}}{ln}\left(\mathrm{1}+{x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{ln}^{\mathrm{3}} \left({x}\right)}{\mathrm{1}+{x}}{dx} \\ $$$$=βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{t}^{\mathrm{3}} {e}^{βˆ’{t}} }{\mathrm{1}+{e}^{βˆ’{t}} }{dt}=βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\underset{{m}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} {t}^{\mathrm{3}} \left(βˆ’\mathrm{1}\right)^{{m}} {e}^{βˆ’\left({m}+\mathrm{1}\right){t}} {dt} \\ $$$$=βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\underset{{m}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\left(βˆ’\mathrm{1}\right)^{{m}} }{\left({m}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} {t}^{\mathrm{3}} {e}^{βˆ’{t}} {dt} \\ $$$$=βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\underset{{m}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\frac{\left(βˆ’\mathrm{1}\right)^{{m}} }{\left({m}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }\Gamma\left(\mathrm{4}\right)=βˆ’\mathrm{2}\underset{{m}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\left(\mathrm{1}βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }\right)\zeta\left(\mathrm{4}\right) \\ $$$$=βˆ’\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}}\zeta\left(\mathrm{4}\right) \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 15/Jun/21
 grateful sir power
$$\:{grateful}\:{sir}\:{power} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 15/Jun/21
Ξ¦_2 =∫_0 ^1  ((log(1βˆ’x))/x)log^2 x dx  we have log^β€² (1βˆ’x)=((βˆ’1)/(1βˆ’x))=βˆ’Ξ£_(n=0) ^∞  x^n  β‡’log(1βˆ’x)=βˆ’Ξ£_(n=0) ^∞  (x^(n+1) /(n+1))  =βˆ’Ξ£_(n=1) ^∞  (x^n /n) β‡’((log(1βˆ’x))/x)=βˆ’Ξ£_(n=1) ^∞  (1/n)x^(nβˆ’1)  β‡’  Ξ¦_2 =βˆ’Ξ£_(n=1) ^∞  (1/n)∫_0 ^1  x^(nβˆ’1)  log^2 x dx  U_n =∫_0 ^1  x^(nβˆ’1)  log^2 x dx β‡’u_n =[(x^n /n)log^2 x]_0 ^1 βˆ’βˆ«_0 ^1  (x^n /n)Γ—((2logx)/x)dx  =βˆ’(2/n)∫_0 ^1  x^(nβˆ’1)  logxdx  =βˆ’(2/n){  [(x^n /n)logx]_0 ^1 βˆ’βˆ«_0 ^1  (x^n /n)(dx/x)}  =βˆ’(2/n)(βˆ’(1/n)∫_0 ^1  x^(nβˆ’1) dx)=(2/n^3 ) β‡’Ξ¦_2 =βˆ’Ξ£_(n=1) ^∞  (2/n^4 )  =βˆ’2ΞΎ(4) =βˆ’2Γ—(Ο€^4 /(90)) =βˆ’(Ο€^4 /(45))
$$\Phi_{\mathrm{2}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{1}βˆ’\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}\mathrm{log}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{log}^{'} \left(\mathrm{1}βˆ’\mathrm{x}\right)=\frac{βˆ’\mathrm{1}}{\mathrm{1}βˆ’\mathrm{x}}=βˆ’\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\mathrm{log}\left(\mathrm{1}βˆ’\mathrm{x}\right)=βˆ’\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=βˆ’\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{1}βˆ’\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}=βˆ’\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\mathrm{x}^{\mathrm{n}βˆ’\mathrm{1}} \:\Rightarrow \\ $$$$\Phi_{\mathrm{2}} =βˆ’\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}βˆ’\mathrm{1}} \:\mathrm{log}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{U}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}βˆ’\mathrm{1}} \:\mathrm{log}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\left[\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\mathrm{log}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} βˆ’\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}Γ—\frac{\mathrm{2logx}}{\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$=βˆ’\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}βˆ’\mathrm{1}} \:\mathrm{logxdx} \\ $$$$=βˆ’\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}}\left\{\:\:\left[\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\mathrm{logx}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} βˆ’\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}}\right\} \\ $$$$=βˆ’\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}}\left(βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}βˆ’\mathrm{1}} \mathrm{dx}\right)=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow\Phi_{\mathrm{2}} =βˆ’\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=βˆ’\mathrm{2}\xi\left(\mathrm{4}\right)\:=βˆ’\mathrm{2}Γ—\frac{\pi^{\mathrm{4}} }{\mathrm{90}}\:=βˆ’\frac{\pi^{\mathrm{4}} }{\mathrm{45}} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 15/Jun/21
you are welcome sir.
$$\mathrm{you}\:\mathrm{are}\:\mathrm{welcome}\:\mathrm{sir}. \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 15/Jun/21
  thanks  sir max
$$\:\:{thanks}\:\:{sir}\:{max} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 15/Jun/21
Ξ¦_3 =∫_0 ^1  ((log^2 xlog(1+x))/x)dx  we have log^β€² (1+x)=(1/(1+x))=Ξ£_(n=0) ^∞ (βˆ’1)^n x^n   β‡’log(1+x)=Ξ£_(n=0) ^∞ (βˆ’1)^n  (x^(n+1) /(n+1))=Ξ£_(n=1) ^∞  (((βˆ’1)^(nβˆ’1)  x^n )/n) β‡’  ((log(1+x))/x)=Ξ£_(n=1) ^∞  (((βˆ’1)^(nβˆ’1) )/n)x^(nβˆ’1)  β‡’Ξ¦_3 =Ξ£_(n=1) ^∞ (((βˆ’1)^(nβˆ’1) )/n)∫_0 ^1  x^(nβˆ’1)  log^2 xdx  U_n =∫_0 ^1  x^(nβˆ’1) log^2 x dx=[(x^n /n)log^2 x]_0 ^1 βˆ’βˆ«_0 ^1  (x^n /n)Γ—((2logx)/x)dx  =βˆ’(2/n)∫_0 ^1  x^(nβˆ’1) logx dx =βˆ’(2/n){[(x^n /n)logx]_0 ^1 βˆ’βˆ«_0 ^1  (x^(nβˆ’1) /n)dx}  =(2/n^3 ) β‡’Ξ¦_3 =βˆ’2Ξ£_(n=1) ^∞  (((βˆ’1)^n )/n^4 )=βˆ’2Ξ΄(4)  =βˆ’2(2^(1βˆ’4) βˆ’1)ΞΎ(4) =2(1βˆ’2^(βˆ’3) )ΞΎ(4)=2(1βˆ’(1/8))ΞΎ(4)  =2Γ—(7/8)ΞΎ(4)=(7/4)Γ—(Ο€^4 /(90)) =((7Ο€^4 )/(360))
$$\Phi_{\mathrm{3}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{log}^{\mathrm{2}} \mathrm{xlog}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{log}^{'} \left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(βˆ’\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(βˆ’\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(βˆ’\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}βˆ’\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(βˆ’\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}βˆ’\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\mathrm{x}^{\mathrm{n}βˆ’\mathrm{1}} \:\Rightarrow\Phi_{\mathrm{3}} =\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\left(βˆ’\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}βˆ’\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}βˆ’\mathrm{1}} \:\mathrm{log}^{\mathrm{2}} \mathrm{xdx} \\ $$$$\mathrm{U}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}βˆ’\mathrm{1}} \mathrm{log}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\mathrm{dx}=\left[\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\mathrm{log}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} βˆ’\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}Γ—\frac{\mathrm{2logx}}{\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$=βˆ’\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}βˆ’\mathrm{1}} \mathrm{logx}\:\mathrm{dx}\:=βˆ’\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}}\left\{\left[\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\mathrm{logx}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} βˆ’\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}βˆ’\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\mathrm{dx}\right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow\Phi_{\mathrm{3}} =βˆ’\mathrm{2}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(βˆ’\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{4}} }=βˆ’\mathrm{2}\delta\left(\mathrm{4}\right) \\ $$$$=βˆ’\mathrm{2}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}βˆ’\mathrm{4}} βˆ’\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{4}\right)\:=\mathrm{2}\left(\mathrm{1}βˆ’\mathrm{2}^{βˆ’\mathrm{3}} \right)\xi\left(\mathrm{4}\right)=\mathrm{2}\left(\mathrm{1}βˆ’\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\right)\xi\left(\mathrm{4}\right) \\ $$$$=\mathrm{2}Γ—\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}\xi\left(\mathrm{4}\right)=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}}Γ—\frac{\pi^{\mathrm{4}} }{\mathrm{90}}\:=\frac{\mathrm{7}\pi^{\mathrm{4}} }{\mathrm{360}} \\ $$

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