Question Number 77422 by john santu last updated on 06/Jan/20
$$\mathrm{can}\:\mathrm{solve}\:\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{17}} −\mathrm{1}}\:\mathrm{via}\: \\ $$$$\mathrm{elementary}\:\mathrm{calculus}? \\ $$
Commented by aliesam last updated on 07/Jan/20
$$\int\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{17}} −\mathrm{1}}\:{dx} \\ $$$$=\:−\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{17}} }\:\left(\frac{{x}}{{x}^{\mathrm{17}} }\right)\left(\frac{{x}^{\mathrm{17}} }{{x}}\right)\:{dx} \\ $$$$=−\int\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{17}−\mathrm{1}} \:\left({x}\right)^{\mathrm{1}−\mathrm{17}} \:\left({x}\right)^{\mathrm{17}−\mathrm{1}} \:{dx} \\ $$$$=−\int\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{17}−\mathrm{1}} \:\left({x}^{\mathrm{17}} \right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{17}}−\mathrm{1}} \left({x}\right)^{\mathrm{17}−\mathrm{1}} \:{dx} \\ $$$$=−{x}_{\mathrm{2}} {F}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1},\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{17}}\:;\:\frac{\mathrm{18}}{\mathrm{17}}\:;{x}^{\mathrm{17}} \right)+{c} \\ $$
Answered by mind is power last updated on 06/Jan/20
$$\mathrm{X}^{\mathrm{17}} −\mathrm{1}=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{16}} {\prod}}\left(\mathrm{x}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{2ik}\pi}{\mathrm{17}}} \right) \\ $$$$\int\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{17}} −\mathrm{1}}=\int\frac{\mathrm{dx}}{\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{16}} {\prod}}\left(\mathrm{x}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{2ik}\pi}{\mathrm{17}}} \right)}=\int\left\{\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{16}} {\sum}}\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{k}} }{\mathrm{x}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{2ik}\pi}{\mathrm{17}}} }\right\}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{k}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{17e}^{\frac{\mathrm{2ik}\pi}{\mathrm{17}}.\mathrm{16}} }=\frac{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{2ik}\pi}{\mathrm{17}}} \:}{\mathrm{17}} \\ $$$$\Rightarrow\int\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{17}} −\mathrm{1}}=\int\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{16}} {\sum}}\frac{\mathrm{e}^{\frac{−\mathrm{2ik}\pi}{\mathrm{17}}} }{\mathrm{17}\left(\mathrm{x}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{2ik}\pi}{\mathrm{17}}} \right)}.\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{see}\:\mathrm{that} \\ $$$$\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{16}} {\sum}}\frac{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{2ik}\pi}{\mathrm{17}}} }{\mathrm{x}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{2ik}\pi}{\mathrm{17}}} }=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{8}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{2ik}\pi}{\mathrm{17}}} }{\mathrm{x}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{2ik}\pi}{\mathrm{17}}} }+\frac{\mathrm{e}^{\frac{−\mathrm{2i}\pi\left(\mathrm{17}−\mathrm{k}\right)}{\mathrm{17}}} }{\mathrm{x}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{2i}\left(\mathrm{17}−\mathrm{k}\right)\pi}{\mathrm{17}}} }\right)\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{8}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{2ik}\pi}{\mathrm{17}}} }{\mathrm{x}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{2ik}\pi}{\mathrm{17}}} }+\frac{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{2ik}\pi}{\mathrm{17}}} }{\mathrm{x}−\mathrm{e}^{\frac{−\mathrm{2ik}\pi}{\mathrm{17}}} }\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{8}} {\sum}}\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{xcos}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)−\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2cos}\left(\frac{\mathrm{2}\pi\mathrm{k}}{\mathrm{17}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\int\mathrm{2}\frac{\mathrm{xcos}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)−\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2cos}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}=\int\left\{\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{2cos}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2cos}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)−\mathrm{2cos}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2cos}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right\}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{since}\:\mid\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)\mid<\mathrm{1},\forall\mathrm{k}\in\left\{\mathrm{1},…..\mathrm{8}\right\}\: \\ $$$$\int\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{2cos}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2xcos}\left(\frac{\mathrm{2}\pi\mathrm{k}}{\mathrm{17}}\right)+\mathrm{1}}=\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2xcos}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\int\frac{\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)−\mathrm{2cos}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2cos}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}}=\left(\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)−\mathrm{2cos}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)\right)\int\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)\right.} \\ $$$$=\left(\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)−\mathrm{2cos}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)\right)\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)}−\mathrm{cot}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{Get} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{17}} −\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{17}}\int\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{8}} {\sum}}\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{2cos}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2cos}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\left(\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)−\mathrm{2cos}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)\right).\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2xcos}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)+\mathrm{1}}\right\}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{17}}\left\{\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid+\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{8}} {\sum}}\left[\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2xcos}\left(\frac{\mathrm{2}\pi\mathrm{k}}{\mathrm{17}}\right)+\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)−\mathrm{2cos}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)\right)\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)}−\mathrm{cot}\left(\frac{\mathrm{2k}\pi}{\mathrm{17}}\right)\right)\right]\right\}+\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{c}\in\mathbb{R}\:\mathrm{constant} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Commented by john santu last updated on 06/Jan/20
$$\mathrm{thanks}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$