Question Number 9515 by Joel575 last updated on 12/Dec/16
$$\mathrm{cos}\:\left({x}+\mathrm{2}{y}\right)\:=\:{a} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\left({x}+{y}\right)\:=\:{b} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{maximum}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\:\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}{y}\right)\:\:\mathrm{is}\:… \\ $$
Answered by mrW last updated on 15/Dec/16
$$\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}{y}\right)=\left[\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{2y}+\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\right]^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\left[\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{2y}\right)\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)+\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{2y}\right)\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\right]^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\left[\mathrm{b}×\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{2y}\right)+\mathrm{a}×\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\right]^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\mathrm{b}^{\mathrm{2}} ×\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\left(\mathrm{x}+\mathrm{2y}\right)+\mathrm{2ab}×\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{2y}\right)×\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} ×\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right) \\ $$$$=\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{2ab}×\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{2y}\right)×\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$=\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2ab}×\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{2y}\right)×\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right) \\ $$$$=\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} \pm\mathrm{2ab}\sqrt{\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$\mathrm{max}=\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\mid\mathrm{ab}\mid\sqrt{\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$\mathrm{min}=\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\mid\mathrm{ab}\mid\sqrt{\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$
Commented by Joel575 last updated on 12/Dec/16
$${thank}\:{you}\:{very}\:{much} \\ $$