Question Number 136935 by metamorfose last updated on 27/Mar/21
$$\int{cos}\left({x}\right){e}^{{cos}\left({x}\right)+{sin}\left({x}\right)} {dx}=…? \\ $$
Answered by liberty last updated on 27/Mar/21
$$\int\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}.\mathrm{e}^{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}} .\mathrm{e}^{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}\:= \\ $$$$\mathrm{by}\:\mathrm{parts} \begin{cases}{\mathrm{u}=\mathrm{e}^{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}} \: \mathrm{du}=−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}.\mathrm{e}^{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}}\\{\mathrm{v}=\int\mathrm{cos}\:\mathrm{x}.\mathrm{e}^{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}=\int\mathrm{d}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}} \right)=\mathrm{e}^{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}} }\end{cases} \\ $$$$\int\:\mathrm{e}^{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}} \:\mathrm{d}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}} \right)\:=\:\mathrm{e}^{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}} +\int\mathrm{sin}\:\mathrm{xe}^{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}} \:\mathrm{dx} \\ $$$$\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\right)\int\mathrm{cos}\:\mathrm{x}.\mathrm{e}^{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}\:=\:\mathrm{e}^{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}} \\ $$$$\int\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}.\mathrm{e}^{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}\:=\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{sin}\:\mathrm{x}} \:+\mathrm{C}}{\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:\mathrm{x}} \\ $$
Commented by metamorfose last updated on 28/Mar/21
$${Sir}\:,\:{i}\:{can}'{t}\:{understand}\:{the}\:{ligne}\:\mathrm{4}\: \\ $$