Define-a-3-3-matrix-whose-entries-are-the-first-9-positive-integers-Let-s-k-be-the-sum-of-the-elements-across-the-kth-row-Is-there-such-a-matrix-where-s-1-s-2-s-3-1-2-3-

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Question Number 8236 by Yozzias last updated on 03/Oct/16

$$\mathrm{Define}\mathrm{a}3\times 3\mathrm{matrix}\mathrm{whose}\mathrm{entries}$$$$\mathrm{are}\mathrm{the}\mathrm{first}9\mathrm{positive}\mathrm{integers}.$$$$\mathrm{Let}{\mathrm{s}}_{\mathrm{k}}\mathrm{be}\mathrm{the}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{elements}$$$$\mathrm{across}\mathrm{the}\mathrm{kth}\mathrm{row}.\mathrm{Is}\mathrm{there}\mathrm{such}\mathrm{a}$$$$\mathrm{matrix}\mathrm{where}{\mathrm{s}}_1:{\mathrm{s}}_2:{\mathrm{s}}_3=1:2:3?$$$$--------------------$$$$\mathrm{What}\mathrm{about}\mathrm{n}\times \mathrm{n}\mathrm{matrices}\mathrm{whose}$$$$\mathrm{elements}\mathrm{are}\mathrm{the}\mathrm{first}{\mathrm{n}}^2\mathrm{positive}$$$$\mathrm{integers}?\mathrm{Is}\mathrm{there}\mathrm{a}\mathrm{matrix}\mathrm{such}$$$$\mathrm{that}{\mathrm{s}}_1:{\mathrm{s}}_2:{\mathrm{s}}_3:{\mathrm{s}}_4:\dots ..:{\mathrm{s}}_{\mathrm{n}}=1:2:3:\dots :\mathrm{n}?$$$$$$

Commented by Rasheed Soomro last updated on 03/Oct/16

$${\mathrm{s}}_1+{\mathrm{s}}_2+{\mathrm{s}}_3=\frac{9\times (9+1)}{2}=45[\because {\mathrm{s}}_1\cup {\mathrm{s}}_2\cup {\mathrm{s}}_3=\{1,2,3,\dots ,9\}]$$$$\mathrm{If}45\mathrm{is}\mathrm{divided}\mathrm{in}1:2:3$$$${\mathrm{s}}_1=\frac{45}{6}=\frac{15}{2}.\mathrm{But}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{three}\mathrm{whole}\mathrm{numbers}\mathrm{may}$$$$\mathrm{not}\mathrm{be}\mathrm{fraction}.$$$$\mathrm{So}\mathrm{such}3\times 3\mathrm{matrix}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{possible}.$$$$$$$$\mathrm{Similarily}\mathrm{for}\mathrm{n}\times \mathrm{n}\mathrm{matrix}$$$${\mathrm{s}}_1+{\mathrm{s}}_2+{\mathrm{s}}_3+\dots +{\mathrm{s}}_{\mathrm{n}}=\frac{{\mathrm{n}}^2({\mathrm{n}}^2+1)}{2}[\because {\mathrm{s}}_1\cup {\mathrm{s}}_2\cup {\mathrm{s}}_3\dots \cup {\mathrm{s}}_{\mathrm{n}}=\{1,2,3,\dots ,{\mathrm{n}}^2\}$$$$\mathrm{If}{\mathrm{s}}_1:{\mathrm{s}}_2:{\mathrm{s}}_3:{\mathrm{s}}_4:\dots ..:{\mathrm{s}}_{\mathrm{n}}=1:2:3:\dots :\mathrm{n}$$$${\mathrm{s}}_1=\frac{\frac{{\mathrm{n}}^2({\mathrm{n}}^2+1)}{2}}{\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}}\mathrm{must}\mathrm{be}\mathrm{whole}\mathrm{number}.$$$${\mathrm{s}}_1=\frac{{\mathrm{n}}^2({\mathrm{n}}^2+1)}{2}\times \frac{2}{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}=\frac{\mathrm{n}({\mathrm{n}}^2+1)}{\mathrm{n}+1}$$$$\mathrm{But}\mathrm{this}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{whole}\mathrm{number}\mathrm{in}\mathrm{geneal}.$$$$\mathrm{So}\mathrm{in}\mathrm{general}\mathrm{such}\mathrm{n}\times \mathrm{n}\mathrm{matrix}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{possible}.$$

Commented by Yozzias last updated on 03/Oct/16

$$\mathrm{Thanks}!$$

Answered by Yozzias last updated on 04/Oct/16

$$\mathrm{Answer}\mathrm{in}\mathrm{comments}.$$

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