Question Number 134467 by bramlexs22 last updated on 04/Mar/21
$$\begin{array}{|c|c|}{\mathrm{If}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2y}+\mathrm{5}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2x}+\mathrm{5}\:}\\{\mathrm{what}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} .}\\\hline\end{array} \\ $$
Answered by benjo_mathlover last updated on 04/Mar/21
$$\:\begin{array}{|c|c|c|c|}{\left(\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{2}\right)\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}\left(\mathrm{y}−\mathrm{x}\right);\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)+\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)=\mathrm{0}}\\{\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{2}\right)=\mathrm{0}\:\begin{cases}{\mathrm{x}=\mathrm{y}}\\{\mathrm{x}=−\mathrm{y}+\mathrm{2}}\end{cases}\:}\\{\mathrm{for}\:\mathrm{x}=\mathrm{y}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{5}=\mathrm{0},\:\mathrm{x}=\mathrm{y}=\:\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{6}}\:}\\{\mathrm{for}\:\mathrm{x}=−\mathrm{y}−\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2y}−\mathrm{1}=\mathrm{0};\:\mathrm{y}=−\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{2}}\:}\\\hline\end{array} \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{substitution}\:\mathrm{the}\:\mathrm{pair}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\mathrm{to}\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \: \\ $$