Question Number 141805 by mohammad17 last updated on 23/May/21
$$\int\frac{{dx}}{\mathrm{1}−{tanx}} \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 23/May/21
$$\int\frac{{dx}}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:{x}}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{t}=\mathrm{tan}\:{x}\:\rightarrow\:{dx}=\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right] \\ $$$$=\int\frac{{dt}}{\left(\mathrm{1}−{t}\right)\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\frac{\mathrm{2}{t}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{dt}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{dt}}{{t}−\mathrm{1}}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}\:\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{arctan}\:{t}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\left({t}−\mathrm{1}\right)\:= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}\:\frac{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\left({t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{arctan}\:{t}\:= \\ $$$$=\frac{{x}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}\right)\:+{C} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 24/May/21
$$\Phi=\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}−\mathrm{tanx}}\:\Rightarrow\Phi=_{\mathrm{tanx}=\mathrm{t}} \:\:\int\:\frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)}\:=−\int\:\frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{t}−\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{bt}\:+\mathrm{c}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\:,\:\:\mathrm{a}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\mathrm{lim}_{\mathrm{t}\rightarrow+\infty} \mathrm{tF}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{0}\:=\mathrm{a}+\mathrm{b}\:\Rightarrow\mathrm{b}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)}\:+\frac{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{t}+\mathrm{c}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{o}\right)=−\mathrm{1}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{c}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{t}+\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\Phi=−\int\:\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}−\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\frac{\mathrm{t}+\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\mid\mathrm{t}−\mathrm{1}\mid\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{log}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{arctant}\:+\mathrm{C} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\mid\mathrm{tanx}−\mathrm{1}\mid\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)\:+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\:+\mathrm{C} \\ $$