Question Number 2334 by Syaka last updated on 16/Nov/15
$$\int\frac{{dx}}{\left({x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{3}{x}\:+\:\mathrm{9}\right)\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{5}{x}\:+\:\mathrm{7}}\:}\:\:=\:? \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 16/Nov/15
$${x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}{x}+\mathrm{7}=\left({x}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}} \\ $$$${x}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}{i}\mathrm{sin}\:{u} \\ $$$${dx}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}{i}\mathrm{cos}\:{u}\:{du} \\ $$$$\sqrt{\left({x}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\:}=\sqrt{−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{u}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}\:=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:{u} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{9}=\left({x}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{4}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} {u}−\mathrm{2}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}{i}\mathrm{sin}\:{u}−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\right)+\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{4}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{3sin}^{\mathrm{2}} {u}+\mathrm{4}{i}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sin}\:{u}−\mathrm{31}\right) \\ $$$$\mathrm{Integral}\:\mathrm{to}\:\mathrm{be}\:\mathrm{computed} \\ $$$$−\frac{{i}}{\mathrm{4}}\int\:\frac{{du}}{\left(\mathrm{3sin}^{\mathrm{2}} {u}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}{i}\mathrm{sin}\:{u}−\mathrm{31}\right)} \\ $$$$=\frac{−{i}}{\mathrm{4}}\int\:\frac{{du}}{\left(\mathrm{3sin}^{\mathrm{2}} {u}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}{i}\mathrm{sin}\:{u}+\left(\mathrm{2}{i}\right)^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{27}} \\ $$$$=\frac{−{i}}{\mathrm{4}}\int\:\frac{{du}}{\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sin}\:{u}+\mathrm{2}{i}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{−{i}}{\mathrm{4}}\int\frac{{du}}{\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sin}\:{u}+\mathrm{2}{i}−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}\right)\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sin}\:{u}+\mathrm{2}{k}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}\right)} \\ $$$$=\frac{−{i}}{\mathrm{4}\centerdot\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{3}}}\left[\int\frac{{du}}{\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sin}\:{u}+\mathrm{2}{i}−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}\right)}−\int\frac{{du}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sin}\:{u}+\mathrm{2}{i}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}\right] \\ $$$$=\frac{−{i}}{\mathrm{4}\centerdot\mathrm{6}\centerdot\mathrm{3}}\left[\int\frac{{du}}{\left(\mathrm{sin}\:{u}+\left(\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}{i}−\mathrm{3}\right)\right.}−\int\frac{{du}}{\mathrm{sin}\:{u}+\left(\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}{i}+\mathrm{3}\right)}\right] \\ $$
Answered by prakash jain last updated on 16/Nov/15
$$\mathrm{As}\:\mathrm{given}\:\mathrm{in}\:\mathrm{comments}\:\mathrm{both}\:\mathrm{integrals}\:\mathrm{are} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{form} \\ $$$$\int\frac{{du}}{\mathrm{sin}\:{u}+{a}} \\ $$$$\mathrm{This}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{integrated}\:\mathrm{using}\:\mathrm{the}\:\mathrm{substitution} \\ $$$$\mathrm{tan}\:\frac{{u}}{\mathrm{2}}={v} \\ $$$${du}=\frac{\mathrm{2}{dv}}{\left(\mathrm{1}+{v}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$\mathrm{sin}\:{u}=\frac{\mathrm{2}{v}}{\mathrm{1}+{v}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\int\frac{{du}}{\mathrm{sin}\:{x}+{a}}=\int\:\:\frac{\frac{\mathrm{2}{dv}}{\mathrm{1}+{v}^{\mathrm{2}} }}{\frac{\mathrm{2}{v}}{\mathrm{1}+{v}^{\mathrm{2}} }+{a}}=\frac{\mathrm{1}}{{a}}\int\:\frac{\mathrm{2}{dv}}{{v}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\frac{{v}}{{a}}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{{a}}\int\:\frac{\mathrm{2}{dv}}{\left({v}+\frac{\mathrm{1}}{{a}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\sqrt{\sqrt{{a}}−\frac{\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{2}} }}\right)^{\mathrm{2}} }=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} …\left(\mathrm{standard}\:\mathrm{integral}\right) \\ $$$$\mathrm{Fill}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{required}\:\mathrm{value}\:\mathrm{and}\:\mathrm{do}\:\mathrm{a}\:\mathrm{reverse} \\ $$$$\mathrm{substitution}.\:\mathrm{You}\:\mathrm{will}\:\mathrm{get}\:\mathrm{a}\:\mathrm{long}\:\mathrm{result}\:\mathrm{in}\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} . \\ $$$$\mathrm{You}\:\mathrm{can}\:\mathrm{also}\:\mathrm{convert}\:\mathrm{the}\:\mathrm{result}\:\mathrm{to}\:\mathrm{ln}\:\mathrm{or}\:\mathrm{tanh}^{−\mathrm{1}} . \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 16/Nov/15
$$\mathrm{The}\:\mathrm{result}\:\mathrm{will}\:\mathrm{contain}\:{i}=\sqrt{−\mathrm{1}}\:\mathrm{as}\:\mathrm{well}\:\mathrm{terms}\: \\ $$$$\mathrm{involving}\:\mathrm{square}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{of}\:\mathrm{complex}\:\mathrm{number}. \\ $$