Question Number 8486 by PradipGos. last updated on 12/Oct/16
$$\underset{−\infty} {\overset{\infty} {\int}}{e}^{−\mathrm{2}\mid{x}\overset{} {\mid}\:} \left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\alpha{x}\right){dx}=???? \\ $$$${solve}\:{this}\:……. \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Answered by Yozzias last updated on 12/Oct/16
$$\mathrm{I}=\int_{−\infty} ^{\infty} \mathrm{e}^{−\mathrm{2}\mid\mathrm{x}\mid} \left(\mathrm{1}−\mathrm{cos2}\alpha\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{Since}\:\mid\mathrm{x}\mid=\begin{cases}{\mathrm{x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}\geqslant\mathrm{0}}\\{−\mathrm{x}\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}<\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$$$\mid\mathrm{x}\mid=\mathrm{x}\:\mathrm{for}\:\mathrm{x}\in\left[\mathrm{0},\infty\right)\:\mathrm{and}\:\mid\mathrm{x}\mid=−\mathrm{x}\:\mathrm{for}\:\mathrm{x}\in\left(−\infty,\mathrm{0}\right]. \\ $$$$\therefore\mathrm{I}=\underset{\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\int}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{cos2}\alpha\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}+\underset{−\infty} {\int}^{\mathrm{0}} \mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{cos2}\alpha\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{J}=\int\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{cos2}\alpha\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:\:\left(\mathrm{a}\neq\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{J}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{cos2}\alpha\mathrm{x}\right)−\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \left(\mathrm{2}\alpha\mathrm{sin2}\alpha\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{J}=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{cos2}\alpha\mathrm{x}\right)}{\mathrm{a}}−\frac{\mathrm{2}\alpha}{\mathrm{a}}\int\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \mathrm{sin2}\alpha\mathrm{xdx} \\ $$$$\mathrm{J}=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{cos2}\alpha\mathrm{x}\right)}{\mathrm{a}}−\frac{\mathrm{2}\alpha}{\mathrm{a}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \mathrm{sin2}\alpha\mathrm{x}−\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \mathrm{2}\alpha\mathrm{cos2}\alpha\mathrm{xdx}\right] \\ $$$$\mathrm{J}=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{cos2}\alpha\mathrm{x}\right)}{\mathrm{a}}−\frac{\mathrm{2}\alpha\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \mathrm{sin2}\alpha\mathrm{x}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{4}\alpha^{\mathrm{2}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\int\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \mathrm{cos2}\alpha\mathrm{xdx}. \\ $$$$\mathrm{Now},\:\int\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \mathrm{cos2}\alpha\mathrm{xdx}=\int\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \mathrm{dx}−\mathrm{J}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} −\mathrm{J}. \\ $$$$\therefore\mathrm{J}=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{cos2}\alpha\mathrm{x}\right)}{\mathrm{a}}−\frac{\mathrm{2}\alpha\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} \mathrm{sin2}\alpha\mathrm{x}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{4}\alpha^{\mathrm{2}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{3}} }\mathrm{e}^{\mathrm{ax}} −\frac{\mathrm{4}\alpha^{\mathrm{2}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\mathrm{J} \\ $$$$\mathrm{J}=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{\mathrm{ax}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}\alpha^{\mathrm{2}} }\left\{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos2}\alpha\mathrm{x}}{\mathrm{a}}−\frac{\mathrm{2}\alpha\mathrm{sin2}\alpha\mathrm{x}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{4}\alpha^{\mathrm{2}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{3}} }\right\}+\mathrm{C} \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{a}=−\mathrm{2}.\:\therefore\:\:\mathrm{J}\mid_{\mathrm{0}} ^{\infty} =\frac{\mathrm{4e}^{−\mathrm{2x}} }{\mathrm{4}+\mathrm{4}\alpha^{\mathrm{2}} }\left\{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos2}\alpha\mathrm{x}}{−\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{2}\alpha\mathrm{sin2}\alpha\mathrm{x}}{\mathrm{4}}−\frac{\alpha^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right\}\mid_{\mathrm{0}} ^{\infty} \\ $$$$\mathrm{J}\mid_{\mathrm{0}} ^{\infty} =\mathrm{0}−\frac{\mathrm{4}×\mathrm{1}}{\mathrm{4}+\mathrm{4}\alpha^{\mathrm{2}} }\left\{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{1}}{−\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{0}}{\mathrm{4}}−\frac{\alpha^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right\}=\frac{\alpha^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\alpha^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{a}=\mathrm{2}.\:\therefore\:\mathrm{J}\mid_{−\infty} ^{\mathrm{0}} =\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} }{\mathrm{1}+\alpha^{\mathrm{2}} }\left\{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos2}\alpha\mathrm{x}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{2}\alpha\mathrm{sin2}\alpha\mathrm{x}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{4}\alpha^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}\right\}\mid_{−\infty} ^{\mathrm{0}} =\frac{\alpha^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\alpha^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$\therefore\:\mathrm{I}=\mathrm{2}×\frac{\alpha^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\alpha^{\mathrm{2}} \right)}=\frac{\alpha^{\mathrm{2}} }{\alpha^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Commented by PradipGos. last updated on 13/Oct/16
$$\mathrm{Thanks} \\ $$